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1sincostan2sin()3sin()sin4sin()yxyxyxyAwxAwyAwxyxyAwx．能画出，，的图象，了解三角函数的周期性．．会用“五点法”画函数的图象，理解、、的物理意义．．掌握函数与图象间的变换关系．．会由函数的图象或图象特征求函数的解析式．1MPOMAT在图中规定了方向的、、分别叫做角的正弦线、余弦线．三角函数线、正切线．2．三角函数的图象3sin()yAwx．的图象其中相位变换中，平移量为①__________个单位长度，φ0时向②________平移，φ0时向③________平移；横向伸缩变换中的纵坐标不变，横坐标变为原来的④________倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的⑤________倍(其中A0，ω0)．(2)物理意义：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x∈R)表示一个振动量时，A叫振幅，T＝⑥________叫周期，f＝1T叫频率，⑦________叫相位，⑧________叫初相．【要点指南】①|φ|；②左；③右；④1ω；⑤A；⑥2πω；⑦ωx＋φ；⑧φ1.函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω0,0≤φ2π)的部分图象如图，则()A．ω＝π2，φ＝π4B．ω＝π3，φ＝π6C．ω＝π4，φ＝π4D．ω＝π4，φ＝5π4【解析】T＝(3－1)×4＝8，ω＝2π8＝π4，由sin(π4×1＋φ)＝1，得π4＋φ＝π2，φ＝π4，故选C.2.若x∈[0，π2]内有两个不同的实数值满足等式cos2x＋3sin2x＝k＋1，则k的取值范围是()A．－2≤k≤1B．－2≤k1C．0≤k≤1D．0≤k1【解析】已知2sin(2x＋π6)＝k＋1.设t＝2x＋π6，则t∈[π6，7π6]．由图象可知1≤k＋12，所以0≤k1.3.函数y＝tan(2x－π3)与y＝－a(a∈R)的交点中距离最小为π2.【解析】交点中距离最小为周期T＝π2，故填π2.4.把函数y＝cos(2x＋3π5)的图象上各点向右平移π2个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的5倍，最后再把整个图象向下平移4个单位，则所得图象的函数解析式是y＝5cos(4x－2π5)－4.5.方程sinx＝lgx的实根有()A．1个B．2个C．3个D．无数个【解析】利用图象可知有3个交点，故选C.一三角函数图象的画法及变换【例1】已知函数y＝3sinx2＋cosx2(x∈R)．(1)用“五点法”画出它的图象；(2)求它的振幅、周期及初相；(3)说明该函数的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到？【解析】(1)y＝2sin(x2＋π6)，令X＝x2＋π6，列表如下：描点连图：(2)振幅A＝2，周期T＝4π，初相为π6.(3)将y＝sinx图象上各点向左平移π6个单位，得到y＝sin(x＋π6)的图象，再把y＝sin(x＋π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sin(x2＋π6)的图象，最后把y＝sin(x2＋π6)的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，即得函数y＝2sin(x2＋π6)的图象．【点评】1.用“五点法”作图应抓住四条：①化为y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的形式；②求出周期T＝2πω；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点：当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点．2．对y＝f(x)的图象，若把图象沿x轴平移a个单位(a0)，则向左平移把x换成x＋a，向右平移把x换成x－a，即“左加右减”，其他数均不变，若把图象上各点的横坐标伸长到原来的ω倍(ω1)，则只需把x换1ωx；若把图象上各点的横坐标缩短到原来的1ω倍(ω1)，则只需把x换成ωx；若将图象上各点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A倍(A1)，则只需在f(x)前乘以A(1A)，y＝f(x)即可变为y＝Af(x)(y＝1Af(x))．若方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上恰有两个不同实数解，求a的范围．素材1【解析】因为3sinx＋cosx＝a，所以a＝2sin(x＋π6)，其中x∈[0,2π]．画出函数f(x)＝2sin(x＋π6)，x∈[0,2π]的图象．由已知方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]的图象与直线y＝a有两个交点，结合图象易得a的范围为(－2,1)∪(1,2)．二三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例2】已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)在一个周期内的图象如图所示，求此函数的解析式．【解析】由图易得A＝2，因为相邻的两个最大，最小值点的横坐标相差半个周期，所以周期T＝2(4π9－π9)＝2π3，所以ω＝2πT＝3，所以解析式为y＝2sin(3x＋φ)．将(π9，2)代入，得2sin(3×π9＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1，所以π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得φ＝2kπ＋π6，k∈Z.因为|φ|π2，所以φ＝π6，所以解析式为y＝2sin(3x＋π6)．【点评】由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，关键在于确定参数A，ω，φ.由图象的最高点或最低点确定A；由图象上的关键点确定周期，进一步确定ω的值；由图象的特殊点(最好取最高点或最低点)确定φ的值．素材2函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的图象如图所示，求函数的解析式．【解析】由图易求得A＝12(4－0)＝2，b＝12(4＋0)＝2，从而x＝－2到x＝2是函数y＝A(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，所以12×2πω＝2－(－2)，解得ω＝π4，所以y＝2sin(π4x＋φ)＋2，下面求φ.由题图知，当x＝－2时，y＝4，即2sin[π4×(－2)＋φ]＋2＝4，所以－π2＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，取k＝0，得φ＝π，所以y＝2sin(π4x＋π)＋2.【点评】本题利用数形结合的思想，以及待定系数法确定函数的解析式，由图象确定周期求出φ；设函数的最大值为m，最小值为n，则A＝m－n2，b＝m＋n2，由图象的特点(最好取最高点最低点)确定φ的值．三对称轴(对称中心)问题【例3】已知函数f(x)＝Asinωx＋Bcosx(其中A、B、ω是实常数，且ω0)的最小正周期为2，且当x＝13时，f(x)取得最大值2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)在闭区间[214，234]上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，说明理由．【解析】(1)f(x)＝A2＋B2sin(ωx＋φ)(ω为辅助角)．由已知A2＋B2＝2，T＝2，所以ω＝2πT＝π，所以f(x)＝2sin(πx＋φ)．又x＝13时，f(x)取得最大值2，所以2＝2sin(π3＋φ)，即sin(π3＋φ)＝1.由π3＋φ＝π2，得φ＝π6，所以f(x)＝2sin(πx＋π6)．(2)由πx＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝k＋13，即为此函数的对称轴．令214≤k＋13≤234，得5012≤k≤6512(k∈Z)，所以k＝5.故在[214，234]上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝163.【点评】对于y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴，可由ωx＋φ＝kx＋π2(k∈Z)解得，其对称轴有无数条，有时可用检验的方法来确定一直线是否为其对称轴或在某范围内是否有对称轴．在[0,2π]上，函数y＝cosx与直线y＝1围成的封闭图形的面积为2π.素材3【解析】如图知矩形ABCD的面积为S，则S＝4π.由图象的对称性可知，S1＝S2＝S3＝S4，所以所求封闭图形的面积＝12S＝2π.备选例题已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x∈R)在一个周期内的图象如图所示，求直线y＝3与函数f(x)的图象所有交点的坐标．【解析】A＝2，T＝4[π2－(－π2)]＝4π，所以ω＝2πT＝12，所以y＝2sin(x2＋φ)．将(－π2，0)视为“五点法”中的第一点，则12×(－π2)＋φ＝0⇒φ＝π4，所以y＝2sin(12x＋π4)．由3＝2sin(12x＋π4)，得sin(12x＋π4)＝32，所以12x＋π4＝2kπ＋π3或12x＋π4＝2kπ＋2π3，k∈Z，即x＝4kπ＋π6或x＝4kπ＋5π6，k∈Z，所以所有交点坐标为(4kπ＋π6，3)(k∈Z)或(4kπ＋5π6，3)(k∈Z)．10232223sin()“”wxxyAwx．“五点法”作图时，一般是令取，，，，，算出相应的的值，再列表，描点作图．．函数图象变换主要是平移与伸缩变换，要注意平移与伸缩的多少与方向．．给出的图象，求它的解析式，常从寻找五点法中的第一个点来求的值．