2015-2016学年高中数学 1.1第2课时 余弦定理课件 新人教A版必修5

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修5解三角形第一章1.1正弦定理和余弦定理第一章第2课时余弦定理课堂探究学案2课时作业3自主预习学案1自主预习学案1．会用向量法证明余弦定理．2．记住余弦定理及其推论，并能用它们解决一些简单的三角度量问题．中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命．某时某中国海监船位于中国南海的A处，与我国海岛B相距snmile.据观测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以vnmile/小时的速度前去驱逐．假如能测得∠BAC＝α，BC＝mnmile，你能根据上述数据计算出它赶到C处的时间吗？1．判断(正确：T，错误：F)．(1)已知两个三角形两边及其夹角对应相等，则两个三角形全等．(2)已知两个三角形三边分别对应相等，则两个三角形全等．(3)已知两边和其中一边的对角解三角形，可能有一解、两解或无解．2．在△ABC中，正弦定理的表达式是______________．[答案]1.(1)T(2)T(3)T2.asinA＝bsinB＝csinC1．在△ABC中，若AB＝4，AC＝6，A＝60°.(1)这个三角形能确定吗？(2)你能利用正弦定理求出BC吗？由正弦定理得BCsin60°＝6sinB＝4sinC，又sinC＝sin(120°－B)，∴BC＝6sin60°sinB，或BC＝4sin60°sin120°－B据此可以先求出角B(或sinB)，再求BC．(3)能否利用平面向量求边BC？如何求得？∵BC→＝BA→＋AC→∴|BC→|2＝|BA→|2＋|AC→|2＋2BA→·AC→＝|BA→|2＋|AC→|2－2|BA→||AC→|cosA＝4＋9－2×2×3cos60°＝7.∴|BC→|＝7.(4)(2)和(3)哪种方法简便？利用(3)的方法，能否推导出用b，c，A表示a?2．余弦定理在三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．你能否建立坐标系，结合解直角三角形的知识用解析法证明余弦定理？如图，以点A为原点，以△ABC的边AB所在直线为x轴，以过点A与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，C(bcosA，bsinA)，B(c,0)．由两点间的距离公式得BC2＝(bcosA－c)2＋(bsinA－0)2，即a2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，a2＝b2＋c2－2bccosA．同理可证b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC．在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC等于________．[答案]13[解析]由条件已知三角形的两边及其夹角，故可以直接利用余弦定理求得边AC，即AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝16＋9－2×4×3×12＝13.∴AC＝13.3．余弦定理的变形根据余弦定理，可以得到以下推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.边长为5、7、8的三角形中，最大角与最小角的和是________．[答案]120°[解析]设中间角为θ，由于875，故θ的对边长为7，由余弦定理，得cosθ＝52＋82－722×5×8＝12.所以θ＝60°，故另外两角和为180°－60°＝120°.4．余弦定理与勾股定理有何关系？在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2－2a·b·0＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则a2＋b2c2⇔△ABC是钝角三角形，且角C为钝角；a2＋b2＝c2⇔△ABC是直角三角形，且角C为直角；a2＋b2c2⇔△ABC是锐角三角形，且角C为锐角．在△ABC中，sinAsinBsinC＝357，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定[答案]C[解析]由正弦定理，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7.设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k0)，由于cba，故角C是△ABC中最大的角，因为cosC＝b2＋a2－c22ab＝5k2＋3k2－7k22×5k×3k＝－120，所以C90°，即△ABC为钝角三角形课堂探究学案已知两边和夹角解三角形在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，解三角形．[分析]已知两边及其中一边的对角，先由余弦定理列方程求c，然后求A，C．[解析]由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，则2＝3＋c2－23×22×c，即c2－6c＋1＝0，解得c＝6＋22，或c＝6－22.当c＝6＋22时，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°A180°，∴A＝60°，∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°)＝75°.当c＝6－22时，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°A180°，∴A＝120°，∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(120°＋45°)＝15°.故c＝6＋22时，A＝60°，C＝75°；c＝6－22时，A＝120°，C＝15°.[方法规律总结]已知两边及一角解三角形的方法：(1)当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求解出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解；(2)当已知两边及其一边的对角时，可用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，也可用正弦定理求解，但都要注意解的情况的讨论．利用余弦定理求解相对简便．(1)已知△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，则边c＝________.(2)在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，则BC＝________.[答案](1)3(2)4或5[解析](1)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋1－2×1×1×(－12)＝3，∴c＝3.(2)由余弦定理得(5)2＝52＋BC2－2×5×BC×910，所以BC2－9BC＋20＝0，所以BC＝4或5.已知三边解三角形在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求角A，B，C．[解析]在△ABC中，由余弦定理的推论得，cosC＝a2＋b2－c22ab＝262＋6＋232－4322×26×6＋23＝243＋12423＋1＝22.∴C＝45°，sinC＝22.由正弦定理得，sinA＝asinCc＝26×2243＝12.∵ac，∴AC，∴A＝30°.∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(30°＋45°)＝105°.[方法规律总结]已知三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三角的余弦，进而求得三个角．在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝37，求最大角．[分析]利用余弦定理的推论求角．[解析]∵3743，边c最大，则角C最大，又cosC＝a2＋b2－c22ab＝32＋42－372×3×4＝－12.∴最大角C＝120°.在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状．[分析]思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系．判断三角形的形状[解析]解法一：∵b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，∴利用正弦定理可得sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sinB·sinC·cosB·cosC，∵sinBsinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC，∴cos(B＋C)＝0，∴cosA＝0，∵0Aπ，∴A＝π2，∴△ABC为直角三角形．解法二：已知等式可化为b2－b2cos2C＋c2－c2·cos2B＝2bccosBcosC，由余弦定理可得b2＋c2－b2·a2＋b2－c22ab2－c2·(a2＋c2－b22ac)2＝2bc·a2＋b2－c22ab·a2＋c2－b22ac∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．解法三：已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosB·cosC，∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC＝(bcosC＋ccosB)2＝a2，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．[方法规律总结]已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状，可先观察条件式的特点，再依据此特点选取变形方法，当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形，当等式两边含有角的正弦的同次幂时，常用正弦定理变形，当含有边的积式及边的平方和与差的形式时，常考虑用余弦定理变形，可以化边为角，通过三角变换求解，也可以化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边的关系等等．在△ABC中，已知a∶b∶c＝1∶3∶2，试判断三角形的形状．[解析]在△ABC中，设a＝x(x0)，则b＝3x，c＝2x.显然c最大，故角C最大．根据余弦定理，cosC＝a2＋b2－c22ab＝x2＋3x2－2x22·x·3x＝x2＋3x2－4x223x2＝0.∴C＝π2，即△ABC是直角三角形．在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．正弦、余弦定理的综合应用[分析]欲求BC，在△BCD中，已知∠BCD，∠BDC可求，故须再知一条边；而已知∠BDA和AB、AD，故可在△ABD中，用正弦定理或余弦定理求得BD．这样在△BCD中，由正弦定理可求BC．[解析]在△ABD中，设BD＝x，由余弦定理：BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得：x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，由正弦定理，得BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，∴BC＝16sin135°·sin30°＝82.(2015·昆明市质检)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝π4，AB边上的高为c2，则a2＋b2ab＝________.[答案]22[解析]由已知得：S△ABC＝12·c·c2＝12absinC＝12ab·sinπ4得：c2＝2ab，又由余弦定理得：cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－2ab2ab＝a2＋b22ab－22＝22，∴a2＋b2ab＝22.设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．[错解]∵2a＋1，a,2a－1为三角形的三边，∴2a＋10，a0，2a－10，解得a12.2a＋1是三边长的最大值，设其对角为θ.∵2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，∴cosθ0，即a2＋2a－12－2a＋122a2a－1＝aa－82a2a－10，解得12a8，∴a的取值范围是12a8.[辨析]错解中求得的a12不是2a＋1，a,2a－1能构成三角形的充要条件．如当a＝1时，a＋(2a－1)2a＋1，此时2a＋1，a,2a－1就不能作为三角形的三边，本题实质上是求2a＋1，a,2a－1能构成钝角三角形的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还应满足“两边之和大于第三边”．[正解]∵2a＋1，a,2a－1为三角形的三边，∴2a＋10，a0，2a－10，解得a12，此时2a＋1最大．∵2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边，还需a＋(2a－1)2a＋1，解得a