2015-2016学年高中数学 1.1第3课时 正、余弦定理的综合应用课件 新人教A版必修5

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修5解三角形第一章1.1正弦定理和余弦定理第一章第3课时正、余弦定理的综合应用课堂探究学案2课时作业3自主预习学案1自主预习学案1．巩固掌握正、余弦定理，并会用来解决解三角形问题．2．应用正、余弦定理判断三角形形状．工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如图所示的部分，∠A＝53°，∠B＝47°，AB长为1m.他想修好这个零件，但不知道AC和BC的长度是多少，所以无法截料．你能帮工人师傅这个忙吗？1．正弦定理的数学表达式为____________________．2．余弦定理的数学表达式为_____________________、_______________________、_______________________.asinA＝bsinB＝csinCa2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC1．应用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？(1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角．(2)已知三角形的两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而计算出其他的边和角．(3)边化角，角化边．(1)(2015·南昌市一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝35，则b等于()A．53B．107C．57D．5214(2)已知△ABC中，a＝3，b＝1，B＝120°，则A＝________.(3)在△ABC中，lga－lgc＝lgsinB＝lg22，且B为锐角，三角形的形状为________．[答案](1)C(2)无解(3)等腰直角三角形[解析](1)因为cosA＝35，所以sinA＝1－cos2A＝1－352＝45，所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝45×22＋35×22＝7210.由正弦定理bsinB＝csinC，得b＝17210×sin45°＝57.(2)由条件知角B为最大角，∴b为最大边，但已知ba，故无解．(3)由lgsinB＝lg22，得sinB＝22.又B为锐角，∴B＝45°.又由lga－lgc＝lg22，得ac＝22.根据正弦定理，得sinAsinC＝22，∴2sinC＝2sinA＝2sin(135°－C)，即sinC＝sinC＋cosC．∴cosC＝0.∴C＝90°.因此△ABC为等腰直角三角形．2．应用余弦定理可以解决怎样的解三角形问题？(1)已知三角形的两边及其夹角，求其他的边和角．(2)已知三角形的三边，求三个角．(3)边化角，角化边．在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，则角A________.[答案]30°[解析]由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋(22)2－2×2×22cos15°＝4＋8－82×6＋24＝8－43，因此c＝6－2.又∵asinA＝csinC，∴sinA＝asinCc＝2sin15°6－2＝2×6－246－2＝12.∵ba，∴BA．又∵0°A180°，∴A必为锐角，即A＝30°.3．三角形的面积公式由正弦定理可得三角形的面积S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA．设△ABC的角A，B，C的对边为a，b，c，T＝12(a＋b＋c)，则△ABC的面积S＝TT－aT－bT－c，你会证明吗？∵T(T－a)(T－b)(T－c)＝12(a＋b＋c)·12(b＋c－a)·12(a＋c－b)·12(a＋b－c)＝116[(b＋c)2－a2]·[a2－(c－b)2]＝116(2bccosA＋2bc)(2bc－2bccosA)＝14b2c2sin2A＝(12bcsinA)2＝S2，∴S＝TT－aT－bT－c.(2014·新课标Ⅱ理，4)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝()A．5B．5C．2D．1[答案]B[解析]本题考查余弦定理及三角形的面积公式．∵S△ABC＝12acsinB＝12·2·1·sinB＝12，∴sinB＝22，∴B＝π4或3π4.当B＝π4时，经计算△ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．∴B＝3π4，根据余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB＝5，∴b＝5，故选B．课堂探究学案三角函数的化简、求值设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A－C)＋cosB＝32，b2＝ac，求B．[分析]三角形内角A、B、C满足A＋B＋C＝π，故条件式cos(A－C)＋cosB＝32可化为只含A与C的表达式．由正弦定理可将条件式b2＝ac化为角的表达式sin2B＝sinA·sinC，进而可解出角B．[解析]由cos(A－C)＋cosB＝32及B＝π－(A＋C)得cos(A－C)－cos(A＋C)＝32，∴cosAcosC＋sinAsinC－(cosAcosC－sinAsinC)＝32，∴sinAsinC＝34.又由b2＝ac及正弦正理得，sin2B＝sinAsinC，故sin2B＝34，sinB＝32或sinB＝－32(舍去)，于是B＝π3或B＝2π3.若B＝2π3，则cos(A－C)＝32－cosB＝2，这不可能，所以B＝π3.[方法规律总结]1.给出三角形内角或边的表达式一般先利用内角和定理和正余弦定理化简(化边为角、化角为边、减少角的个数)，再利用三角公式简化，最后求值或求角．2．注意依据表达式的特点选择应用定理．(2015·唐山市二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2(a2－b2)＝2accosB＋bc.(1)求A；(2)D为边BC上一点，BD＝3DC，∠DAB＝π2，求tanB．[解析](1)因为2accosB＝a2＋c2－b2，所以2(a2－b2)＝a2＋c2－b2＋bc.整理得a2＝b2＋c2＋bc，所以cosA＝－12，即A＝2π3.(2)因为∠DAB＝π2，所以AD＝BD·sinB，∠DAC＝π6.在△ACD中，有ADsinC＝CDsin∠DAC，又因为BD＝3CD，所以3sinB＝2sinC，由C＝π3－B得3sinB＝3cosB－sinB，整理得tanB＝34.三角形的面积公式在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边．若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.[分析]由cosB2可求得cosB、sinB，由△ABC内角关系及边a用正弦定理可求b(或c)，再代入面积公式可求面积．[解析]由题意得，cosB＝2cos2B2－1＝35，∴B为锐角，sinB＝1－cos2B＝45，sinA＝sin(π－B－C)＝sin3π4－B＝7210，由正弦定理得c＝asinCsinA＝107，∴S＝12ac·sinB＝12×2×107×45＝87.[方法规律总结]求三角形的面积或条件中有三角形的面积的问题，要先考虑选择表达面积的公式(S△＝12×底×高，S△＝12absinC等)．(2013·浙江文，18)在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB＝3b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．[解析](1)由2asinB＝3b及正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝32.因为A是锐角，所以A＝π3.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝283.由三角形面积公式S＝12bcsinA，得△ABC的面积为733.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，B＝π3，cosA＝45，b＝3.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．[分析](1)已知角B和cosA，利用内角和定理及两角和与差的三角函数，可求sinC．(2)利用正弦定理求三角形面积需要两边及夹角，已知边b及三内角，可利用正弦定理再求出一边，然后求面积．综合应用[解析](1)∵角A、B、C为△ABC的内角，且B＝π3，cosA＝45，∴C＝2π3－A，sinA＝35.∴sinC＝sin2π3－A＝32cosA＋12sinA＝3＋4310.(2)由(1)知sinA＝35，sinC＝3＋4310.又∵B＝π3，b＝3，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝65.∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.[方法规律总结]解三角形的综合应用问题常见的有：(1)正、余弦定理和三角变换相结合，一般先进行边角互化，再利用三角公式变形，然后求角、求值或证明三角恒等式、判断三角形的形状等．(2)三角形与平面向量结合命题，先利用向量的平行、垂直等条件脱去向量外衣，转化为纯三角函数问题．然后依据三角公式和解三角形知识求解．(3)与三角形有关的求最值或取值范围问题，先利用正、余弦定理理清三角形中量的关系，再将求最值或取值范围的量表达为某一变量的函数，转化为函数值域最值问题．(2015·安徽理，16)在△ABC中，∠A＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．[解析]如图，设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理得sinB＝bsin∠BACa＝3310＝1010.由题设知0Bπ4，所以cosB＝1－sin2B＝1－110＝31010.在△ABD中，由正弦定理得AD＝AB·sinBsinπ－2B＝6sinB2sinBcosB＝3cosB＝10.在锐角△ABC中，a＝2bsinA，试求cosA＋sinC的取值范围．[分析]由a＝2bsinA运用正弦定理求得B，再利用三角形内角和定理将cosA＋sinC转化为关于A(或C)的三角函数，再求三角函数的取值范围．求取值范围[解析]在锐角△ABC中，根据正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB，得2RsinA＝4RsinBsinA，∴sinB＝12.∵B为锐角，∴B＝π6.令y＝cosA＋sinC＝cosA＋sin[π－(B＋A)]＝cosA＋sin(π6＋A)＝cosA＋sinπ6cosA＋cosπ6sinA＝32cosA＋32sinA＝3(32cosA＋12sinA)＝3sin(A＋π3)．由锐角△ABC，知π2－BAπ2，∴π3Aπ2.∴2π3A＋π35π6，∴12sin(A＋π3)32.∴323sin(A＋π3)32，即32y32.∴cosA＋sinC的取值范围是(32，32)．[方法规律总结]与三角形有关的求取值范围问题，一般先利用内角和定理和正余弦定理及三角公式将所求式化为一角一函形式．再依据角的取值范围求解．在△ABC中，C＝3B，则cb的取值范围为________．[答案](1,3)[解析]由正弦定理，得cb＝sinCsinB＝sin3BsinB＝sinB＋2BsinB＝sinBcos2B＋cosBsin2BsinB＝cos2B＋2cos2B＝4cos2B－1.∵A＋B＋C＝180°，C＝3B，∴0°B45°，即22cosB1，∴12cos2B1，故1cb3.[点评]在解该题时，将边之间的关系转化为角的关系，应用三角函数来解决，但应注意对角的限定．在△ABC中，角A、B、C满足2B＝A＋C，B的对边b＝1，求a＋c的取值范围．[错解]∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝π3，C＝2π3－A，∴a＋c＝bsinAsinB＋bsinCsinB＝233(sinA＋sinC)＝233[sinA＋sin(2π3－A)]＝3sinA＋cosA＝2sin(A＋π6)，∵0Aπ，∴π6A＋π67π6，∴－12sin(A＋π6)12，∴－1a＋c1，又a＋c0，∴0a＋c1.[辨析]错解中前面还照顾到了A与C的相互制约关