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第一讲不等式和绝对值不等式1．2绝对值不等式1．2.3绝对值不等式的解法(二)学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接|x－a|＋|x－b|≥c(或|x－a|＋|x－b|≤c)型不等式的解法解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解．对于形如|x＋a|＋|x＋b|的代数式，可以认为是分段函数．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：解法一如下图，设数轴上与－1，1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间[－1，1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.学习目标预习导学典例精析栏目链接∴－1－x＋1－x＝3，得x＝－32，同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离和为3，B1对应数轴上的x，∴x－1＋x－(－1)＝3.∴x＝32.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.∴原不等式的解集是(－∞，－32]∪[32，＋∞)．学习目标预习导学典例精析栏目链接解法二当x≤－1时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x－1)≥3，解得x≤－32.当－1x1时，原不等式可以化为x＋1－(x－1)≥3，即2≥3.不成立，无解．当x≥1时，原不等式可以化为x＋1＋x－1≥3.所以x≥32.综上，可知原不等式的解集为{x|x≤－32或x≥32}．学习目标预习导学典例精析栏目链接解法三将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.构造函数y＝|x＋1|＋|x－1|－3，即y＝－2x－3，x≤－1，－1，－1x1，2x－3，x≥1.作出函数的图象(如下图)．学习目标预习导学典例精析栏目链接函数的零点是－32，32.从图象可知，当x≤－32或x≥32时，y≥0，即|x＋1|＋|x－1|－3≥0.所以原不等式的解集为－∞，－32∪32，＋∞.点评：这三种解法以第二种解法最重要，但是其中的分段讨论要遵循分类讨论的原则“不重不漏”；第一种解法中，关键是找到一些特殊的点如A1，B1；第三种解法中，准确画出图象，是y＝|x＋1|＋|x－1|－3的图象，而不是y＝|x＋1|＋|x－1|的，其次函数的零点要找准．这些都是求解集的关键．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练1．(2014·广东高考理科)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．解析：方法一：由x≤－2，－（x－1）－（x＋2）≥5，得x≤－3；由－2＜x＜1，－（x－1）＋（x＋2）≥5，无解；由x≥1，（x－1）＋（x＋2）≥5得x≥2.即所求的解集为{x|x≤－3或x≥2}．学习目标预习导学典例精析栏目链接方法二：在数轴上，点－2与点1的距离为3，所以往左右边界各找距离为1的两个点，即点－3到点－2与点1的距离之和为5，点2到点－2与点的1的距离之和也为5，原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．答案：{x|x≤－3或x≥2}．学习目标预习导学典例精析栏目链接含绝对值的不等式的恒成立问题对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|＞k恒成立，则k的取值范围是()A．k＜3B．k＜－3C．k≤3D．k≤－3解析：解法一此题可用分类讨论的思想，用零点分段去掉绝对值符号．学习目标预习导学典例精析栏目链接①x≤－1，－（x＋1）＋（x－2）＞k；②－1＜x＜2，（x＋1）＋（x－2）＞k；③x≥2，（x＋1）－（x－2）＞k.由①得k＜－3.由②得－1＜x＜2时，k＜2x－1.而2x－1∈(－3，3)．由③得k＜3.∵要对任意x都使该不等式成立，∴当k＜－3时，①②③都可以满足．学习目标预习导学典例精析栏目链接解法二虽然解法1容易理解，但较繁琐，此类题也可以根据绝对值的几何意义求解，方法很巧妙，也具有一般性，要注意|x－a|可以看做在数轴上点x到点a的距离．根据绝对值的几何意义(如图所示)：学习目标预习导学典例精析栏目链接|x＋1|可看做点x到点－1的距离，|x－2|可以看做点x到点2的距离，因此|x＋1|－|x－2|即为数轴上任意一点x到点－1的距离与到点2的距离的差，记作(*)，要使它大于k恒成立，就要讨论点x的位置．①当点x在点－1的左侧时，如图所示的点R，则(*)恒为－3.②当点x在点2的右侧时，如上图所示的点T，则(*)恒为3.③当－1≤x≤2时，如图所示的点S，则－3≤(*)≤3.由①②③可知无论x为何实数，(*)的范围都是－3≤(*)≤3.因此若|x＋1|－|x－2|＞k，只需k＜－3.学习目标预习导学典例精析栏目链接解法三此题也可用函数图象的方法来解，这种方法也是今后经常用到的．令y＝|x＋1|－|x－2|，在平面直角坐标系中作出其图象，如图所示．学习目标预习导学典例精析栏目链接y＝－3，x≤－1，2x－1，－1＜x＜2，3，x≥2，由图得到－3≤y＝|x＋1|－|x－2|≤3.以下同解法二．答案：B点评：不等式的恒成立问题(不等式解集为R或为空集都属恒成立问题)都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a，f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a.学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练2．已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m，分别求出下列情况中m的取值范围．(1)不等式有解；(2)不等式的解集为R；(3)不等式的解集为Ø.学习目标预习导学典例精析栏目链接解法一|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)到两定点A(－2)，B(－3)距离的差，如下图所示，即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由数轴知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1，即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.学习目标预习导学典例精析栏目链接(1)若不等式有解，则(|x＋2|－|x＋3|)max＞m，解得m＜1.(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，则(|x＋2|－|x＋3|)min＞m，解得m＜－1.(3)若不等式的解集为Ø，则(|x＋2|－|x＋3|)max≤m，解得m≥1.学习目标预习导学典例精析栏目链接解法二由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m＜1.(2)若不等式的解集为R，则m＜－1.(3)若不等式的解集为Ø，则m≥1.