2015-2016学年高中数学 1.2余弦定理课件 苏教版必修5

1．2余弦定理学习目标预习导学典例精析栏目链接情景导入前节学习正弦定理，可以解决三角形中的两类问题：已知两角及一边，求其余边角；已知两边和其中一边的对角，求其余边角．那么在三角形中其他情况下和由三边能否求其余边角？由两边和夹角呢？学习目标预习导学典例精析栏目链接课标点击学习目标预习导学典例精析栏目链接1．掌握余弦定理，了解余弦定理的证明方法．2．能利用余弦定理解三角形及测量等有关几何问题．学习目标预习导学典例精析栏目链接要点导航知识点1余弦定理证明学习目标预习导学典例精析栏目链接教材中利用几何法通过构造直角三角形，利用勾股定理证明了余弦定理．对定理的证明还可通过向量法、解析法等学习目标预习导学典例精析栏目链接证法一(向量法)如图1，a2＝BC→·BC→＝(AC→－AB→)·(AC→－AB→)＝AC2→－2AC→·AB→＋AB2→＝AC2→－2|AC→|·|AB→|cosA＋AB2→，即a2＝b2＋c2－2bccosA，同理可证：b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.证法二(解析法)如图2，以A点为原点，以△ABC的边AB所在直线为x轴，以过点A与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(bcosA，bsinA)，B(c，0)，由两点间的距离公式得学习目标预习导学典例精析栏目链接BC2＝(bcosA－c)2＋(bsinA－0)2，a2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证：b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.学习目标预习导学典例精析栏目链接证法三(用正弦定理证明)因为b＝2RsinB，c＝2RsinC，所以b2＋c2－2bccosA＝4R2(sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA)＝4R2[sin2B＋sin2C＋2sinBsinCcos(B＋C)]＝4R2(sin2B＋sin2C－2sin2Bsin2C＋2sinBsinC·cosBcosC)＝4R2[sin2B(1－sin2C)＋sin2C(1－sin2B)＋2sinBsinC·cosBcosC]＝4R2(sin2Bcos2C＋2sinBsinCcosBcosC＋sin2C·cos2B)＝4R2sin2(B＋C)＝4R2sin2A＝a2.同理可证：b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.知识点2余弦定理及其应用学习目标预习导学典例精析栏目链接内容三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍数学表达式第一种形式：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC；第二种形式(变式)：cosA＝，cosB＝，cosC＝用途1.解决两类解三角形问题：(1)已知三边，求三角(2)已知两边及其夹角，求第三边和其他两角.2.判断三角形的形状知识点3在解三角形问题时，需掌握的三角关系式学习目标预习导学典例精析栏目链接在△ABC中，以下的三角关系式，在解答有关的三角形问题时经常用到，要记准、记熟、灵活地加以运用．A＋B＋C＝π；A2＋B2＝π2－C2；sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2；S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.学习目标预习导学典例精析栏目链接典例解析题型1利用余弦定理解三角形学习目标预习导学典例精析栏目链接例1在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C.分析：已知三边，可用余弦定理直接求角，先求出两个角后，再用内角和求第三个角．使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于60°，最小角大于60°，可知三角形无解．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：由已知，acb，则∠B最大．由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝24＋48－（48＋243）2×26×43＝1－322＝2－640，∴B＝105°.由正弦定理，得sinC＝c·sinBb＝43·sin105°6＋23＝43×6＋246＋23＝3（6＋2）6（6＋2）＝22.学习目标预习导学典例精析栏目链接∵bc，∴C为锐角，C＝45°.于是A＝180°－(B＋C)＝30°.∴A＝30°，B＝105°，C＝45°.名师点评：(1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式迁移1．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求最大角．解析：令a＝3k，b＝5k，c＝7k(k0)，根据三角形中大角对大边，则角C为最大角．由余弦定理得cosC＝9k2＋25k2－49k22×3k×5k＝－12，∴最大角C＝120°.学习目标预习导学典例精析栏目链接例2已知三角形ABC中，b＝3，c＝33，B＝30°，则a＝________．解析：方法一(利用正弦定理)根据正弦定理和已知条件，有sinC＝csinBb＝32，∵cb，∴CB.∴C有两解(锐角或钝角)，为60°或120°.(1)当C＝60°时，有A＝90°，于是a＝6.(2)当C＝120°时，有A＝30°，于是a＝3，∴a＝6或3.学习目标预习导学典例精析栏目链接方法二(利用余弦定理)将b＝3，c＝33，B＝30°代入b2＝a2＋c2－2accosB，有32＝a2＋(33)2－2a·33·cos30°，整理得a2－9a＋18＝0，解得a＝6或3.答案：6或3学习目标预习导学典例精析栏目链接名师点评：已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法：一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式迁移2．(2013·福建卷)如图，△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，求BD的长．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：∵∠BAC＝π2＋∠BAD，∴由sin∠BAC＝223得cos∠BAD＝223.由余弦定理得BD2＝(32)2＋32－2×32×3×223＝3，∴BD＝3.题型2利用余弦定理判断三角形形状学习目标预习导学典例精析栏目链接例3在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试判断△ABC的形状．分析：可从问题已知条件出发，寻找三角形的边与边或角与角之间的关系，然后判断之．解析：由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，可得(a＋b)2－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝12.故C＝60°.学习目标预习导学典例精析栏目链接又因为2cosAsinB＝sinC，而sinC＝sin(A＋B)，∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0.∴sin(A－B)＝0.又∵A与B为三角形内角，故A＝B.由此可知△ABC为等边三角形．学习目标预习导学典例精析栏目链接名师点评：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两种思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式迁移3．(2013·陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：由bcosC＋ccosB＝asinA及正弦定理可得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，而sin(B＋C)＝sinA≠0，∴sinA＝1，即A＝90°.∴△ABC是直角三角形．题型3方程思想的应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例4如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sinB＝473，求BC边上的高．分析：由已知设AB＝7x，AC＝8x，故要求AD的长只要求出x，△ABC中已知三边只需再有一个角，根据余弦定理便可求x，而用正弦定理正好可求角C.学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：在△ABC中，设AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理得7xsinC＝8xsinB，∴C＝60°(C＝120°舍去，否则由8x7x知B也为钝角，不合要求)．再由余弦定理得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos60°，学习目标预习导学典例精析栏目链接∴x2－8x＋15＝0，∴x＝3或5.∴AB＝21或AB＝35.在△ABD中，AD＝ABsinB＝473AB，∴AD＝123或AD＝203.名师点评：比例式的设法是一种解题技巧，如a∶b∶c＝3∶4∶5，可设a＝3x，b＝4x，c＝5x，这种设法可使运算方便，必须学会．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式迁移4．在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC边上的中线AD之长为72，求边长BC.学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：AD是边上的中线，可设CD＝DB＝x，∵c＝4，b＝7，AD＝72，∴在△ADC中，有cosC＝72＋x2－7222×7x；在△ABC中，有cosC＝72＋（2x）2－422×7×2x.∴72＋x2－7222×7x＝72＋（2x）2－422×7×2x.∴x＝92，a＝2x＝9.