三角形内角和定理的证明_终结版

同学们，你们好！这节课我们要掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养大家对图形的观察、猜想和论证能力。第六章证明（一）５．三角形内角和定理的证明（北师大版数学八年级下册）在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷。同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如下图），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？我们先观察如下的实验：看实验：请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少度？＿＿＿［想点］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角∠B和∠C越来越接近于0°当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC也逐渐趋向平行，这时,∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.是180°把三个角拼在一起试试看？你有什么办法可以验证呢?言必有“据”:三角形的内角和等于1800.言必有“据”:我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个结论的探索过程吗?想好就证明一下吧！！！！！！！！EDABC已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：延长BC到D,过点C作CE∥AB则∠ACE=∠A﹙两直线平行，内错角相等﹚例题欣赏☞这里的CD，CE称为辅助线，通常辅助线画成虚线∠DCE=∠B﹙两直线平行，同位角相等﹚∴∠BCA+∠A+∠B=180°﹙等量代换﹚∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°﹙平角定义﹚三角形内角和定理----三角形三个内角的和等于1800在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?小明的想法已经变为现实，由此你受到什么启发?你有新的证法吗?与同伴交流证明：过点A作PQ∥BC，则ABC∠1=∠B(两直线平行,内错角相等)∠2=∠C(两直线平行,内错角相等)又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定义)∴∠BAC+∠B+∠C=1800(等量代换).PQ231ABC证明：过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等)（∠EAB+∠BAC）+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换)E开启智慧•已知：如图，△ABC.•求证：∠A+∠B+∠C=180°ABCPQR证明：过点P作PQ∥AC交AB于Q点，作PR∥AB交AC于R点。∴四边形AQPR是平行四边形（平行四边形的定义）∴∠QPR=∠A（平行四边形的对角相等）∠RPC=∠B（两直线平行，同位角相等）∠QPB=∠C（两直线平行，同位角相等）∵∠QPB+∠QPR+∠RPC=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）•已知：如图，△ABC.•求证：∠A+∠B+∠C=180°开启智慧你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角ABCE图1EABCDF图2ANBCTS图3PQRMANBCTS图4PQRMABCEDF1234图5AE12BCD图6…………TSNABCPQRMTSNABCPQRMABCPQR（1）（2）（3）试一试☞在证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图（1））如果把三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图（2））“凑”到三角形外一点呢？（如图（3））三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.三角形内角和定理的几种变形:∠A=1800–(∠B+∠C).∠B=1800–(∠A+∠C).∠C=1800–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.这里的结论,以后可以直接运用.ABC1、直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.随堂练习☞ABC结论:直角三角形的两个锐角互余；等边三角形每个内角是60°以后可以直接运用.ABC证明：在△ABC中∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理）∠C=90°（已知）∴∠A+∠B+90°=180°（等量代换）∴∠A+∠B=180°－90°=90°（等式性质）即∠A+∠B=90°ABC已知：在△ABC中，∠C＝90゜求证：∠A＋∠B＝90゜随堂练习☞证明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）∵∠C=700（已知）∴∠AED=700（等量代换）∵∠A+∠AED+∠ADE=1800（三角形的内角和定理）∠A=600（已知）∴∠ADE=1800-600-700=500（等量代换）即∠ADE=500DCBAE（第2题）2、已知：如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600,∠C=700.求证：∠ADE=500随堂练习☞3、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD，交CD于点.则∠B、∠D、∠P之间是否存在一定的大小关系？随堂练习☞ABCPDE它们关系是怎样的？并加以证明.70601三角形中最大的角是，那么这个三角形是锐角三角形。（）2一个三角形中最多只有一个钝角或直角。（）3一个等腰三角形一定是锐角三角形。（）4一个三角形最少有一个角不大于。（）动脑筋：×√√√知识应用：1、填空：（1）直角三角形的两锐角之和是＿＿＿度；（2）等边三角形的每一个内角是＿＿＿度；（3）已知等腰三角形的一个底角是50°，则它的顶角是＿＿＿度；（4）已知等腰三角形的顶角是70°，则它的底角是＿＿＿度；（5）已知等腰三角形的一个角是50°，则其余的两个角分别是＿＿＿＿＿＿；（6）在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3，则∠A=＿＿，∠B=＿＿＿，∠C=＿＿＿；（7）在△ABC中，∠A=105°，∠B-∠C=15°，则∠B=＿＿＿，∠C=＿＿＿。推论1、直角三角形的两锐角互余；2、等边三角形的每一个内角都是60°。80°65°65°，65°或50°，80°30°60°90°45°30°我们证明了三角形内角和定理。证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角，辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁。小结拓展小结：本节课你有什么收获？