三角形培优训练100题集锦(1)

EDFCBA三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围.2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.EDCBA4、以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90,BADCAE连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC为直角三角形时，探究：AM与DE的位置关系和数量关系；（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．5、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC.CDBAEDCBADCBAP21DCBAPQCBA6、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。7、如图，已知在△ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP8、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：0180CA9、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC10、11、AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为AP，△EBC周长记为BP.求证BP＞AP.12、已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．DCBAEMMEABCDOEDCBA13、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD14、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.15、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。EDGFCBAOPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③FEDCBABCDNMA16、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.17、D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1）当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。18、如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求AMN的周长。_N_M_E_F_D_C_B_A19、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC∠，60MBN∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，．当MBN∠绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．当MBN∠绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．20、已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.（图1）ABCDEFMN（图2）ABCDEFMN（图3）ABCDEFMN21、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．图1图2图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时LQ；（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用x、L表示）．22、如图2-7-1，△ABC和△DCE均是等边三角形，B、C、E三点共线，AE交CD于G，BD交AC于F。求证：①AE=BD;②CF=CG.23、如图2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE。求证：MD=MN。24、如图2-7-3，△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D。求证：AB+BD=AC25、如图2-7-4，△ABC中，ACAB，AD平分∠BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。求证：PC-PB＜AC-AB。26、如图2-7-5，从等腰Rt△ABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE。求证：∠CDF=∠ADE。27、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。28、已知：△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60º角的顶点E在BC上滑动，（点E不与B、C重合），斜边和∠ACM的平分线CF交于点F（1）如图（1）当点E在BC边中点位置时1)猜想AE与EF满足的数量关系是。2)连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是3)请证明你的上述猜想（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时：此时ＡＥ和ＥＦ有怎样的数量关系，并说明你的理由？E图（1）NFMCBAE图（2）FMCBA29、已知AC平分∠MAN，∠MAN=120º，（1）在图（1）中，若∠ABC=∠ADC=90º，求证：AB+AD=AC。（2）在图（2）中，若∠MAN=120º，∠ABC+∠ADC=180º，则（1）中的结论还成立吗？若成立请你给出证明，若不成立请说明理由？30、如图1，在ABC△中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点BP、在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接.PMPN、（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：BPMCPE△≌△；②求证：PMPN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点BP、在直线a的同侧，其它条件不变.此时PMPN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断PMPN还成立吗？不必说明理由.图（1）CDBNMA图（2）CDBNMA题图1题图2题图331、如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AEGC，．（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论.（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.32、已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h。“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0,可得结论h1+h2+h3＝h”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证AEDCAMPBMAFEDPCBPDMCBFEBAODCE33、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．34、如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．（1）求∠AEB的大小；（2）若ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.35、如图，图1等腰ABC与等腰DEC共点于C，且ECDBCA，连结BE、AD，若ACBC、DCEC．⑴求证：ADBE；⑵若将等腰DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么?（请你用图2加以证明）ABCDEFGCBODAE36、如图1，ABCRt中，ACAB，点D、E是线段AC上两动点，且ECAD，BDAP于P，交BC于点Q，直线BD交直线QE于F.⑴判断DEF的形状，并说明理由.⑵如图2，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，判断DEF的形状，并说明理由.37、如图1，在等腰直角ABC中，90ACB，O为AB的中点，P为AB上一动点，D在BC上，且满足PDPC，ABDE于E.⑴求证：DEPO⑵如图2，点D在BC的延长线上，其他条件不变，⑴中的结论是否成立？⑶在图3中画出当点P在BA延长线上的情况，并给出相应的证明；⑷还有什么样的情况？在图4中画出图形，给出证明.ABCDE38、已知，如下图，∠BAC＝∠BCA,BD＝CD,CE＝AB,求证：AE＝2AD。39、如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，使得△CDE是等边三