2013年高考数学(理科)一轮复习课件第40讲：数列的求和

考纲要求考纲研读1.掌握等差数列、等比数列的求和公式．2．了解一般数列求和的几种方法.对等差、等比数列的求和以考查公式为主，对非等差、非等比数列的求和，主要考查分组求和、裂项相消、错位相减等方法.数列求和常用的方法1．公式法②当q≠1时，Sn＝__________＝_________.(1)等差数列{an}的前n项和公式：Sn＝na1＋an2，na1＋nn－12d.(2)等比数列{an}的前n项和Sn：①当q＝1时，Sn＝_____；a11－qn1－qa1－anq1－qna12．分组求和法把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．错位相减法适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求和．4．裂项相消法有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．A．15B.61C.61D.30A．16B．17C．18D．191．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S5等于()2．若等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝2，a4＋a5＋a6＝5，则a8＋a9＋a10＝()BB3．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a5＝____，前8项的和S8＝_____(用数字作答)．4．数列112，214，318，…，n＋12n，…的前n项和Sn＝________________________.5．数列{an}的通项公式an＝1n＋n＋1，若前n项的和为10，则项数n＝________.1625512012n(n＋1)＋1－12n考点1利用公式或分组法求和例1：(2011年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.解析：(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{an}的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．(2)Sn＝21－2n1－2＋n×1＋nn－12×2＝2n＋1＋n2－2.若一个数列是由等比数列或是等差数列组成，以考查公式为主，可先分别求和，再将各部分合并，这就是我们说的分组求和．【互动探究】1．(2010年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和Sn.2na解：(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，解得d＝1，d＝0(舍去)．故{an}的通项公式an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2na＝2n，由等比数列前n项和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2n1－2＝2n＋1－2.考点2裂项相消法求和例2：(2011年全国)已知等比数列{an}各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3an，求数列1bn的前n项和．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，由a23＝9a2a6.得a23＝9a24.∴q2＝19，由条件可知q0，故q＝13.∵2a1＋3a2＝1，∴2a1＋3a1q＝1，代入解得：a1＝13.故数列{an}的通项公式为an＝13n.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3an＝－(1＋2＋3＋…＋n)＝－nn＋12.故1bn＝－2nn＋1＝－21n－1n＋1.1b1＋1b2＋…＋1bn＝11111212231nn＝－2nn＋1.所以数列1bn的前n项和为－2nn＋1.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前面剩多少项则后面也剩多少项．常见的拆项公式：1nn＋1＝1n－1n＋1；12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；1n＋n＋1＝n＋1－n.【互动探究】2．求和1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n＝_____.解析：∵1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12，∴11＋2＋3＋…＋n＝21n－1n＋1.∴原式＝21－12＋212－13＋213－14＋…＋21n－1n＋1＝2nn＋1.2nn＋1考点3错位相减法求和例3：(2011年辽宁)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列an2n－1的前n项和．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得a1＋d＝0，2a1＋12d＝－10，解得a1＝1，d＝－1.故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列an2n－1的前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a22＋a34＋…＋an2n－1，①Sn2＝a12＋a24＋a38＋…＋an2n.②①－②得Sn2＝a1＋a2－a12＋a3－a24＋…＋an－an－12n－1－an2n＝1－12＋14＋…＋12n－1－2－n2n＝1－1－12n－1－2－n2n＝n2n.所以Sn＝n2n－1.若an＝bn·cn，数列{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，采用错位相减法求数列{an}的和，要注意首先要乘以公比，相减时，一定要错位对齐，且最后一项为负．【互动探究】3．已知：数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋……＋2n－1an＝n2(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项；(2)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项的和Sn.解：(1)n＝1时，a1＝12，n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n2，①a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝n－12，②①－②得2n－1an＝12，an＝12n，又a1＝12适合上式，∴an＝12n.(2)bn＝n·2n，Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，∴(1－2)Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝21－2n1－2－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1.∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2.思想与方法14．分类讨论思想在数列中的应用例题：已知点Pn(an，bn)都在直线l：y＝2x＋2上，P1为直线l与x轴的交点，数列{an}成等差数列，公差为1(n∈N*)．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)若f(n)＝ann为奇数，bnn为偶数，问是否存在k∈N*，使得f(k＋5)＝2f(k)－2成立；若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；(3)求证：1|P1P2|2＋1|P1P3|2＋…＋1|P1Pn|225(n≥2，n∈N*)．解析：(1)P1(－1,0)，an＝n－2，bn＝2n－2.(2)f(n)＝n－2，n为奇数，2n－2，n为偶数.假设存在符合条件．①若k为偶数，则k＋5为奇数．有f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2.如果f(k＋5)＝2f(k)－2，则k＋3＝4k－6⇒k＝3与k为偶数矛盾．故不符(舍去)．②若k为奇数，则k＋5为偶数，有f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2.∴2k＋8＝2(k－2)－2这样的k也不存在．综上所述：不存在符合条件的k.(3)证明：∵Pn(n－2,2n－2)，P1(－1,0)，∴|P1Pn|＝5(n－1)(n≥2)．∴1|P1P2|2＋1|P1P3|2＋…＋1|P1Pn|2＝151＋122＋132＋…＋1n－12151＋11×2＋12×3＋…＋1n－2n－1＝151＋1－1n－1＝152－1n－125.求k的值要分为偶数和奇数两种情况讨论．求和种途径去思考，如果两种方法都行不通，考虑利用放缩法进行适当变形转化．1P1P22＋1P1P32＋…＋1P1Pn2一般都是从等比数列或裂项相消法两1．对于一般数列的求和，通常化归为等差、等比数列的求和，以考查公式为主．由于数列求和是由通项公式决定的，因此，从寻找数列的通项公式入手，通过研究它的特点确定使用的方法是解决求和问题的关键．2．数列求和常见类型及方法(1)an＝kn＋b型，利用等差数列的前n项和公式直接求解．(2)an＝a1·qn－1型，利用等比数列的前n项和直接求解，但要注意对q分q＝1与q≠1两种情况进行讨论．(3)an＝bn±cn，数列{bn}、{cn}是等比数列或是等差数列，采用分组求和．(4)an＝bn·cn，数列{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，采用错位相减法求和．(5)对于通项可化为an＝fn－f(n－1)形式的数列，采用裂项相消法求和．(6)对于an－k＋ak＝c(c为常数)，可考虑采用倒序相加求和．(7)an＝－1nfn，可采用相邻两项合并求解，即采用“并项法”求和．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如等比数列公比q＝1的情形；在应用错位相减法时，一定要错位对齐，并注意观察未合并项的正负号；在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前面剩多少项则后面也剩多少项．