2013年高考数学一轮复习 7.9 数列求和(二)课件 理

求数列的前n项和Sn，通常要掌握以下解法：(1)错位相减法：对于形如cn＝anbn的数列求和，其中数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，即一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和方法是_________________________________________________．(2)分段求和法：通过分段，化归为____________________先写一行，再写一行，但每一项都乘以公比q，再错位相减，即转化为等比数列求和等差、等比数列求和考点一分段求和示范1设数列{an}的通项公式为an＝2n－31，令bn＝|an|，(1)求数列{bn}的前15项和；(2)求数列{bn}的前40项和．解析(1)∵an＋1－an0，∴{an}为单调增数列，又a15＝－10，a16＝10，∴{an}的前15项为负，S15＝15×(－29)＋15×142×2＝－225，而bn＝|an|，所以{bn}前15项和为225.(2)∵数列{an}从16项起为正数，∴{bn}从第16项起与{an}从第16项起和相等．即b16＋b17＋…＋b40＝a16＋a17＋…＋a40＝a16＋a402×25＝625，∴{bn}前40项和为225＋625＝850.展示1已知数列{an}的前n项和Sn＝n103－3n2，(1)求an；(2)求Sn的最大值；(3)令bn＝|an|，求数列{bn}前n项和Tn.【解析】(1)a1＝S1＝50，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋53，又n＝1时，a1＝50也符合上式，∴an＝－3n＋53.(2)考虑函数f(x)＝x103－3x2，其图象的对称轴为x＝1036＝1716，∴(Sn)max＝S17＝442.(3)由(1)，知，an＝－3n＋53.∴当n≤17时，an0；当n17时，an0.∴当n≤17时，Tn＝Sn，当n17时，Tn＝S17＋(－a18－a19－…－an)＝2S17－Sn.方法点拨：仔细观察数列，可发现数列呈现一段一段的规律，与绝对值有关的一般分为两段，分段求和即可．考点二错位相减法求和示范2己知各项为实数的数列{an}是等比数列且a1＝2，a5＋a7＝8(a2＋a4)，数列{bn}满足：对任意正整数n，有a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(2n－2)·2n＋2，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)在数列{bn}的任意相邻两项bk和bk＋1之间插入k个ak(k∈N*)后，得到一个新的数列{cn}，求数列{cn}的前2013项之和提示：62×632＝1953，63×642＝2016.解析(1)设{an}公比为q，由a5＋a7＝8(a2＋a4)得a1q4(1＋q2)＝8a1q(1＋q2)，又a1＝2，q≠0,1＋q20则q3＝8，q＝2，∴an＝2n则题意有a1b1＝2得b1＝1当n≥2时，anbn＝(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)－(a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1)＝n－1·2n＋1＋2－n－2·2n＋2＝n,2n∴bn＝n(2)显然{cn}可举如下：1,21,2,22,22,3,23,23,23,4,24,24,2424,5，…可见k是数列{cn}的第mk项，k≥2时，mk＝k[1＋2＋…＋(k－1)]＝kk＋12而m62＝62×632＝1953，m63＝63×642＝2016也即C1935＝62，C2016＝63.即{Cn}前2016项为：S2016＝1＋632×63＋(1×2＋2×22＋…＋62×62)＝2016＋122×262＋2∴S2013＝1955＋120×262.展示2已知数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上，数列{an}的通项为an，前n项和为Sn且an是Sn与2的等差中项，(1)求数列{bn}，{an}的通项公式bn，an；(2)设Tn＝b1a1＋b2a2＋…＋bnan，求满足关于n的不等式Tn＜c的最小整数c.【解析】(1)∵点P在直线x－y＋2＝0上，则bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2.∴数列{bn}是以2为公差的等差数列且b1＝1.∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1.由条件，得Sn＋2＝2an.∴Sn＋1＋2＝2an＋1，即an＋1＝2(an＋1－an)．∴an＋1＝2an对任意n∈N*成立．∴数列{an}为等比数列，公比q＝2且由a1＝S1＝2(a1－1)，得a1＝2.∴an＝2·2n－1＝2n.所求通项公式为an＝2n，bn＝2n－1.(2)Tn＝12＋322＋523＋…＋2n－12n，①2Tn＝1＋32＋522＋…＋2n－12n－1，②②－①，得Tn＝1＋212＋122＋…＋12n－1－2n－12n＝1＋21－12n－1－2n－12n＝3－12n－2－2n－12n＝3－2n＋32n＜3.而T4＝3716＞2，∴满足关于n的不等式Tn＜c的最小整数c＝3.展示3已知直线ln：y＝x－2n与圆Cn：x2＋y2＝2an＋n＋2(n∈N*)交于不同两点An，Bn，其中数列{an}满足a1＝1，an＋1＝14|AnBn|2，(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝n3(an＋2)，求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】(1)圆心到直线的距离d＝2n2＝n.圆Cn的半径r＝2an＋n＋2，12|AnBn|＝an＋1，∵d2＋12|AnBn|2＝r2，∴n＋an＋1＝2an＋n＋2.∴an＋1＝2an＋2.∴an＋1＋2＝2(an＋2)．∴数列{an＋2}是以a1＋2＝3为首项、以2为公比的等比数列．∴an＋2＝3·2n－1，即an＝3·2n－1－2.(2)由(1)，知bn＝n3(an＋2)＝n3(3·2n－1－2＋2)＝n·2n－1.∴Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，2Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n.两式相减，得Sn＝n·2n－(21＋22＋23＋…＋2nn－1)－1＝n·2n－21－2n－11－2－1＝(n－1)·2n＋1.点评本题借助错位相减法求和．注意书写规范，要注意项之间的次数关系，符号不能搞错．方法点拨：这种方法主要用于求形如{anbn}的数列的前n项和，其中数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列.考点三求和与求通项的综合题示范3已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和且满足a2n＝S2n－1(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1anan＋1，Tn为数列{bn}的前n项和，(1)求a1，d和Tn；(2)若对任意的n∈N*，关于n的不等式λTn＜n＋8·(－1)n恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．分析(1)利用等差数列的有关公式、性质求解．(2)注意分类讨论．(3)利用等比数列解m的不等式．解析(1)法一在a2n＝S2n－1中，令n＝1，n＝2，得a21＝S1，a22＝S3，即a21＝a1，a1＋d2＝3a1＋3d，解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.∵bn＝1anan＋1＝12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)，∴Tn＝12(1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1)＝n2n＋1.法二∵{an}是等差数列，∵a1＋a2n－12＝an∴S2n－1＝a1＋a2n－12(2n－1)＝(2n－1)an.由a2n＝S2n－1，得a2n＝(2n－1)an，又∵an≠0，∴an＝2n－1，则a1＝1，d＝2.(Tn求法同法一)(2)①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n＋8·(－1)n恒成立，即需不等式λ＜n＋82n＋1n＝2n＋8n＋17恒成立．∵2n＋8n≥8，等号在n＝2时取得．∴此时λ需满足λ＜25.②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n＋8·(－1)n恒成立，即需不等式λ＜n－82n＋1n＝2n－8n－15恒成立．∵2n－8n是随n的增大而增大，∴n＝1时2n－8n取得最小值－6.∴此时λ需满足λ＜－21.综合①、②可得λ的取值范围是λ＜－21.(3)T1＝13，Tm＝m2m＋1，Tn＝n2n＋1，若T1，Tm，Tn成等比数列，则(m2m＋1)2＝13(n2n＋1)，即m24m2＋4m＋1＝n6n＋3.法一由m24m2＋4m＋1＝n6n＋3，可得3n＝－2m2＋4m＋1m2＞0，即－2m2＋4m＋1＞0，∴1－62＜m＜1＋62.又m∈N且m＞1，所以m＝2，此时n＝12.因此，当且仅当m＝2，n＝12时，数列{Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．法二因为n6n＋3＝16＋3n＜16，故m24m2＋4m＋1＜16，即2m2－4m－1＜0，∴1－62＜m＜1＋62，(以下同上)．【点评】本题考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识；考查了学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力.展示4已知数列{an}中，a1＝2，对于任意的p，q∈N*，有ap＋q＝ap＋aq，(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足an＝b12＋1－b222＋1＋b323＋1－b424＋1＋…＋(－1)n－1bn2n＋1(n∈N*)，求数列{bn}的通项公式；(3)设cn＝3n＋λbn(n∈N*)，是否存在实数λ，当n∈N*时，cn＋1＞cn恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．【解析】(1)取p＝n，q＝1，则an＋1＝an＋a1＝an＋2.∴an＋1－an＝2(n∈N*)．∴{an}是公差为2、首项为2的等差数列，an＝2n.(2)∵b12＋1－b222＋1＋b323＋1－b424＋1＋…＋(－1)n－1·bn2n＋1＝an(n≥1)，①∴b12＋1－b222＋1＋…＋(－1)n－2bn－12n－1＋1＝an－1(n≥2)．②①－②，得(－1)n－1bn2n＋1＝2(n≥2)．∴bn＝(－1)n－1(2n＋1＋2)(n≥2)．当n＝1时，a1＝b13，即b1＝6满足上式．∴bn＝(－1)n－1(2n＋1＋2)(n∈N*)．(3)cn＝3n＋(－1)n－1(2n＋1＋2)·λ，假设存在λ，使cn＋1＞cn(n∈N*)，则3n＋1＋(－1)n(2n＋2＋2)λ＞3n＋(－1)n－1(2n＋1＋2)λ.[(－1)n(2n＋2＋2)－(－1)n－1(2n＋1＋2)]λ＞3n－3n＋1＝－2·3n.(－1)n(3·2n＋1＋4)·λ＞－2·3n.当n为正偶数时，(3·2n＋1＋4)λ＞－2·3n恒成立，∴λ＞－3n3·2n＋2max＝－13·23n＋2·13nmax.∵－13·23n＋213nmax＝－13232＋2×132＝－914，∴λ－914.当n为正奇数时，－(3·2n＋1＋4)·λ＞－2·3n恒成立．∴λ＜3n3·2n＋2min＝13·23n＋213nmin.∵1323n＋213nmin＝13×23＋2×13＝38.∴λ＜38.综上，存在实数λ∈－914，38，使n∈N*时，cn＋1＞cn恒成立．方法点拨：应当注意多种方法的综合，函数观点，不等式方法，特别是分离变量的思想.但数列为离散的函数，这一点又必须与连续函数加以区别分段求和、错位相减求和是数列求和的重要方法，是高考常常考查的重点对象．运用这些方法解题时一定要注意细心运算，确保结论正确．1．(2011山东)已知在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列，第一列第二列第三列第