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第六节幂函数与函数的图象变换重点难点重点：①幂函数的定义、图象与性质．②函数图象三种基本变换规则．难点：①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关系．②利用基本变换规则作函数图象知识归纳一、幂函数的定义和图象1．定义：形如y＝xα的函数叫幂函数(α为常数)要重点掌握α＝1,2,3，12，－1,0，－12，－2时的幂函数2．图象：(只作出第一象限图象)幂函数在其它象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性作出．幂函数y＝xα(α∈R)的图象如下表：α＝qpα00α1α1p、q都是奇数p为奇数，q为偶数α＝qpα00α1α1p为偶数，q为奇数3.性质：(1)当α0时，幂函数图象都过点和点；且在第一象限都是函数；当0α1时曲线上凸；当α1时，曲线下凸；α＝1时，为过(0,0)点和(1,1)点的(2)当α0时，幂函数图象总经过点，且在第一象限为函数．(3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除去(0,1)点)．(0,0)(1,1)增直线．(1,1)减二、函数的图象与图象变换1．画图描点法①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、值域)；④列对应值表(尤其注意特殊点，如最大值、最小值、与坐标轴的交点)；⑤描点，连线．2．识图绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本功．识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点，另外有无渐近线，正、负值区间等都是识图的重要方面，要注意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供信息来确定这些参数．3．用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．4．有关结论若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形．误区警示1．对于函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)一定要区分开来，前者将y＝f(x)位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，后者将y＝f(x)图象在y轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数而前者y≥0.比如y＝|sinx|与y＝sin|x|.2．由函数y＝f(x)的图象变换成y＝g(x)的图象，变换顺序为①→②时，由y＝g(x)的图象变换成y＝f(x)的图象则是相反的变换且顺序也相反，即②→①.3．在研究幂函数y＝xα的图象、性质时，应考虑α的三种情况：α0，α＝0和α0.幂函数的图象一定出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴相交时，交点一定是原点．一、数形结合的思想函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察图形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等．数形结合借助于图象与函数的对应关系研究函数的性质，应用函数的性质．其本质是：函数图象的性质反映了函数关系；函数关系决定了函数图象的性质．二、解题技巧1．图形变换方法作图是学习和研究函数的基本功之一．变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及其性质，准确把握基本函数的图象特征，熟练地进行平移、伸缩、对称变换．(1)平移变换①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位而得到．②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b0)或向下(b0)平移|b|个单位而得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．⑤y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．⑥y＝f(|x|)的图象可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0的图象．(3)伸缩变换①y＝Af(x)(A＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的1a倍，纵坐标不变而得到．2．图象对称性的证明(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．(2)证明曲线C1与C2的对称性，即要证明C1上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点在C2上，反之亦然．3．由于幂函数y＝xα当α0时，图象不过坐标原点，故有关幂函数y＝xα(α0)的单调性问题，一定要重视分区间讨论．[例1](2011·福州模拟)幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调增区间是()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．(－∞，0)分析：由幂函数y＝xα的图象过点(2，14)，求出α，按α的正负及函数的奇偶性得出单调区间．幂函数的定义解析：设幂函数为y＝xα，由条件知，2α＝14，∴α＝－2，∴y＝x－2，此函数为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，∴在(－∞，0)上单调递增．答案：D(2011·许昌期末)幂函数y＝f(x)的图象过点4，12，那么f(8)的值为________．解析：设f(x)＝xα，由条件知12＝4α，∴α＝－12，∴f(x)＝x-12，∴f(8)＝24.答案：24[例2](1)已知(0.71.3)m(1.30.7)m，求m的范围．(2)比较大小：0.80.7与0.70.8.分析：(1)中两个数的指数相同，故可视作幂函数y＝xm在x取x1＝0.71.3与x2＝1.30.7时的两个函数值用单调性讨论．(2)中两个数底数不同，指数也不同，可借助中间量0.80.8(或0.70.7)，用指数函数y＝0.8x与幂函数y＝x0.8的单调性解决．幂函数的单调性解析：(1)∵00.71.31,1.30.71，∴0.71.31.30.7考察幂函数y＝xm由(0.71.3)m(1.30.7)m知y＝xm为(0，＋∞)上的增函数，∴m0.(2)指数函数y＝0.8x是减函数，∴0.80.70.80.8又幂函数y＝x0.8在第一象限为增函数∴0.80.80.70.8，∴0.80.70.70.8.(2011·济南模拟)下列各式中正确的是()解析：答案：D[例3]幂函数y＝xm2＋3m(m∈Z)的图象如右图所示，则m的值为()A．－3m0B．－1C．－2D．－1或－2幂函数图象的分布规律解析：∵y＝xm2＋3m在第一象限为减函数，∴m2＋3m0，∴－3m0∵m∈Z，∴m的可能值为－2，－1.代入函数解析式知，当m＝－1和－2时，函数都是y＝x－2，为偶函数，故选D.答案：D点评：观察幂函数的图象，一定要先区分α的正负，再确定奇偶性，然后结合条件作出判断．(文)(2011·陕西文，4)函数y＝x13的图象是()解析：当x1时x13x，排除C、D，当0x1时x13x，排除A.答案：B(理)(2011·北京海淀一模)函数f(x)＝x＋1x图象的对称中心为()A．(0,0)B．(0,1)C．(1,0)D．(1,1)解析：f(x)＝x＋1x＝1＋1x，把函数y＝1x的图象向上平移1个单位，即得函数f(x)的图象．由y＝1x的对称中心为(0,0)，可得平移后的f(x)图象的对称中心为(0,1)．答案：B幂函数图象与性质的综合应用解析：∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－30，解得－1m3.∵m∈N＋，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.∵y＝x-13在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)-13(3－2a)-13等价于a＋13－2a0或0a＋13－2a或a＋103－2a.解得a－1或23a32.故a的范围为aa－1或23a32.(文)已知幂函数f(x)＝xm2－6m＋5(m∈Z)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则f(x)的解析式为________．解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－6m＋50，∴1m5.∵m∈Z，∴m＝2或3或4.∵f(x)是奇函数，∴m2－6m＋5应为奇数．当m＝2或4时，m2－6m＋5＝－3是奇数；当m＝3时，m2－6m＋5＝－4不是奇数；∴m＝2或4，f(x)＝x－3.答案：f(x)＝x－3(理)(2011·青岛一中模拟)函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m的值为()A．2B．3C．4D．5答案：A解析：由题意知m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，又由题意知m2－2m－30，得m＝2.故选A.[例5](文)方程2－x＋x2＝3的实数解的个数是()A．2B．3C．1D．4分析：这种方程我们没有学过解法，但问题是讨论解的个数，我们可以借助于指数函数y＝2－x与二次函数y＝3－x2图象的交点个数作出判断．数形结合的思想解析：构造函数y＝2－x与y＝3－x2，由图象可知两函数图象有两个交点，故方程2－x＋x2＝3有2个实数根，所以选A.答案：A(理)已知f(x)是以2为周期的偶函数．当x∈[0,1]时，f(x)＝x，那么在区间[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R且k≠－1)有四个根，则k的取值范围是()A．(－1,0)B．(－12，0)C．(－13，0)D．(－14，0)分析：由f(x)＝xx∈[0,1]及f(x)的周期性、奇偶性可以画出f(x)的图象，由于直线y＝kx＋k＋1过定点(－1,1)，当k变动时，直线与f(x)的图象的交点个数发生变化，由数形结合法可得k的取值范围．解析：分别作出两个函数y＝f(x)与y＝kx＋k＋1在[－1,3]内的图象，结合函数f(x)的周期性作出各个区间内的图象，而函数y＝kx＋k＋1的图象过点A(－1,1)，∴当k∈(kAB，kAC)时，两函数图象有四个交点．∵B(2,0)，C(1,1)，∴k∈(－13，0)，∴选C.答案：C(2011·北京文，13)已知函数f(x)＝2x，x≥2，x－13，x2.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．解析：利用图象，f(x)＝(x－1)3的图象可以看作是y＝x3的图象向右平移一个单位得到，而f(x)＝2x可以看作是y＝1x的纵坐标伸长2倍得到，所以其图象如图．所以直线y＝k与其有两个不同交点时，0k1.答案：(0,1)[例6]作出下列函数的图象(1)y＝x3|x|；(2)y＝x＋2x－1；(3)y＝|log2x－1|;(4)y＝2|x－1|.据解析式作函数的图象解析：(1)首先化简解析式，y＝x2x0，－x2x0.利用二次函数的图象作出其图象，如下图(1)．(2)因y＝1＋3x－1，先作出y＝3x的图象，将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得y＝x＋2x－1的图象，如图(2)．(3)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图(3)．(4)先作出y＝2x的图象，保留x≥0部分，再关于y轴对称得到y＝2|x|图象，然后右移一个单位，即得y＝2|x－1|的图象．(文)y＝|x-13|的图象为()解析：y＝|x-13|为偶函数，故选A.答案：A(理)(2010·山东省实验中学)设函数f(x)＝ax＋bx2＋c的图象如图，则a，b，c满足()A．abcB．acbC．bacD．bca解析：f(x)的图象关于y轴对称，∴a＝0，∵y＝x2＋c在(0，＋∞)上单增，又f(x)＝bx2＋c在(0，＋∞)上单减，且f(x)定义域为R，∴