2013年高考数学总复习 8-3 直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系课件 新人教B版

第三节直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系重点难点重点：直线与圆的位置关系，圆的切线方程和弦长问题．难点：圆的综合问题的解题思路．知识归纳一、直线与圆的位置关系1．直线l：Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)的位置关系：(1)几何方法：圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2，dr⇔直线与圆；d＝r⇔直线与圆；dr⇔直线与圆.相交相切相离(2)代数方法：由Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2消元得到的一元二次方程的判别式为Δ，则Δ0⇔直线与圆；Δ＝0⇔直线与圆；Δ0⇔直线与圆.相交相切相离2．圆的切线(1)求过圆上的一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或k不存在，则可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：①几何方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k.②代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，可求得k.经过圆上一点的圆的切线有且仅有一条；经过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线有两条，因此用点斜式或斜截式直线方程求切线时，若有两解，则所求两条切线方程可得，若仅有一解，则另一条必为x＝x0.(3)从圆外一点P(x1，y1)引到圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则点P到切点的切线长d＝x21＋y21＋Dx1＋Ey1＋F.3．直线被圆截得的弦长：(1)几何方法：运用弦心距d、半径r及弦的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|＝2·r2－d2.(2)代数方法：运用韦达定理求弦长|AB|＝[xA＋xB2－4xA·xB]1＋k2.二、圆与圆的位置关系1．用几何方法判断圆与圆的位置关系两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20)的圆心距为d，则dr1＋r2⇔两圆；d＝r1＋r2⇔两圆；|r1－r2|dr1＋r2⇔两圆；d＝|r1－r2|⇔两圆；0≤d|r1－r2|⇔两圆.外离外切相交内切内含2．代数方法判断两圆的位置关系方程组x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0有两组不同的实数解⇔两圆；有两组相同的实数解⇔两圆；无实数解⇔两圆外离或内含．相交相切3．圆系方程※具有某一共同性质的所有圆的集合叫圆系，它的方程叫圆系方程．(1)同心圆系：设圆C的一般方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则与圆C同心的圆系方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0.(2)相交圆系：过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(不包括第二个圆)．①方程①是一个圆系方程，这些圆的圆心都在两圆的连心线上，圆系方程代表的圆不包含圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.λ＝－1时，①式变为一直线：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0②若两圆相交，则方程②是它们的公共弦所在直线的方程；若两圆相切，则方程②就是它们的公切线方程．三、空间直角坐标系1．轴的选取原则我们所使用的坐标系都是右手直角坐标系：①伸开右手，拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，则中指指向z轴正方向．②从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合．这时，我们说在空间建立了一个空间直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点．③伸开右手，让拇指指向z轴正方向，四指指向x轴正方向，然后将四指自然弯曲90°能指向y轴的正方向．2．坐标与坐标平面(1)过点P作一个平面平行于平面yOz(垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x叫做点P的横坐标；(2)过点P作一个平面平行于平面xOz(垂直于y轴)，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做点P的纵坐标；(3)过点P作一个平面平行于平面xOy(垂直于z轴)，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z叫点P的竖坐标．(4)每两条坐标轴分别确定的平面yOz，xOz，xOy叫做坐标平面．①xOy平面上点的坐标形如(x，y,0)，yOz平面上点的坐标形如(0，y，z)，xOz平面上点的坐标形如(x,0，z)．②x轴上的点形如(x,0,0)，y轴上的点形如(0，y,0)，z轴上的点形如(0,0，z)；③三个坐标平面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限，在坐标平面xOy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，在下方的称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限．3．空间两点间的距离公式设空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A、B两点间的距离|AB|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.误区警示1．讨论直线与圆相切、相交的问题时，主要运用几何方法，即用圆心到直线的距离和半径讨论，而用判别式法计算量大，且易出错．2．两个圆的方程联立后消元(如消去y)，Δ＝0与两圆相切不等价．3．点在圆外时，过该点的圆的切线有两条，若用点斜式求得斜率k只有一解时，应添上垂直于x轴的那一条．4．建立空间直角坐标系时，要注意右手系的规则．注意坐标轴上点的坐标及坐标平面内点的坐标特点，莫用混．1．数形结合的思想在直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的计论中，结合图形进行分析能有效的改善优化思维过程，迅速找到解题的途径，故应加强数形结合思想的应用．2．方程思想在解析几何的许多问题中，经常要通过研究讨论方程的解的情形获得问题的解决．特别是在直线与圆锥曲线相交的问题中，常采用“设而不求，整体处理”的思想方法，即设点而不求点，通过整体处理加以解决．3．待定系数法求圆的方程、求圆的切线方程等解析几何的许多问题都要利用待定系数法，要通过训练深刻领会熟练掌握待定系数法．4．空间特殊点的特征(1)空间点的对称特征关于坐标平面、坐标轴对称点的特点是：关于谁谁不变，其它变相反．如点P(1,4，－3)关于y轴对称点，y坐标不变，其余相反为P′(－1,4,3)．(2)坐标轴、坐标平面上点的坐标特征：无谁谁为0.如xOy平面上的点为(x，y,0)．[例1](2010·广东执信中学)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax＋by＝r2，则()A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离D．m⊥n且n与圆O相离直线与圆的位置关系的判断分析：由P为弦的中点，可知直线m与OP垂直，可得m的斜率，从而可判断m与n的位置关系；依据P在⊙O内，可以得出圆心O到直线n的距离d与|r|的大小关系，可判断直线n与⊙O的位置关系．解析：由点P(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点得，a2＋b2|r|，即a2＋b2r2，直线OP的斜率为k1＝ba，故直线m的斜率km＝－1k1＝－ab，其方程为ax＋by＝a2＋b2，又直线n：ax＋by＝r2，故m∥n；另一方面，圆心O到直线n：ax＋by＝r2的距离为d＝|－r2|a2＋b2r2|r|＝|r|，故直线n与圆O相离．答案：A(文)直线ax－y＋2a＝0(a≥0)与圆x2＋y2＝9的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定解析：圆心O(0,0)到直线ax－y＋2a＝0的距离d＝2aa2＋1≤13.答案：B(理)直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a0)没有公共点，则a的取值范围是()A．(0，2－1)B．(2－1，2＋1)C．(1，2＋1)D．(0，2＋1)解析：圆心C(0，a)到直线x＋y＝1的距离d＝|a－1|2，由条件知圆半径为a，∴|a－1|2a，解之得－2－1a2－1.又a0，∴0a2－1.答案：A[例2]求与圆x2＋y2＋8x＋6y＝0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．分析：本题有两个关键点：一是直线与圆相切，可用d＝r列方程，一是直线在两轴上截距相等，应分过原点和不过原点进行讨论．直线与圆相切解析：圆x2＋y2＋8x＋6y＝0的圆心坐标为(－4，－3)，半径为5.∵圆的切线在两坐标轴上截距相等，设截距为a.①当a≠0时，则切线方程为xa＋ya＝1，即x＋y－a＝0.由|－4－3－a|2＝5，得a＝－7±52，故所求切线方程为x＋y＋7－52＝0和x＋y＋7＋52＝0.②若a＝0，则切线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由|－4k＋3|k2＋1＝5得k＝－43，即4x＋3y＝0.综上所述，所求切线方程为x＋y＋7±52＝0及4x＋3y＝0.(文)(2010·陕西文)已知抛物线y2＝2px(p0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A.12B．1C．2D．4解析：抛物线y2＝2px(p0)的准线方程是x＝－p2，由题意知，3＋p2＝4，p＝2.答案：C(理)(2011·广西贵港市模拟)过点(－1,0)的直线l与圆x2＋y2－23y＋2＝0相切，则直线l的倾斜角的大小为()A．30°B．30°或150°C．150°D．30°或90°解析：圆方程为x2＋(y－3)2＝1，显然直线x＝－1是圆的切线，当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y＝k(x＋1)，则由|－3＋k|1＋k2＝1得k＝33，此时倾斜角为30°，综上知，直线l的倾斜角为30°或90°，选D.答案：D[例3](2011·河南五市联考)直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是()A．[－34，0]B．[－33，33]C．[－3，3]D．[－23，0]直线与圆相交分析：由于圆半径为定值，故弦越长，弦心距就越小，∴|MN|≥23⇔d≤1；或用数形结合法求解．解析：如图，当弦长为23时，k＝±33，故要使|MN|≥23，应有－33≤k≤33.答案：B(文)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()A．[－3，3]B．(－3，3)C．[－33，33]D．(－33，33)解析：设直线方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，因为直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，d＝|2k－4k|k2＋1≤1，解得－33≤k≤33.点评：借助于下面的图形用数形结合法也可以判断C正确．答案：C(理)(2011·武汉市部分重点中学联考)若直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2恰有一个公共点，则b的取值范围是()A．b∈(－1,1]B．b＝－2C．b＝±2D．b∈(－1,1]或b＝－2解析：由x＝1－y2知，曲线表示如图所示的半圆，让直线y＝x＋b在图形中运动，可知，当－1b≤1时与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时|b|2＝1，求得b＝2(舍去)或b＝－2.故选D.答案：D[例4](2010·南京市调研)已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2，动圆过点F2，且与圆F1相内切．圆与圆的位置关系(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)若过原点的直线l与(1)中的曲线C交于A、B两点，且△ABF1的面积为32，求直线l的方程．解析：(1)设动圆M的半径为r，因为圆M与圆F1内切，|MF2|＝r所以|MF1|＝4－|MF2|，即|MF1|＋|MF2|＝4所以点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆且设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)其中2a＝4，c＝1，所以a＝2，b＝3所以曲线C的方程x24＋y23＝1(2)因为直线l过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S△ABF