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第三节空间点、直线、平面之间的位置关系重点难点重点：①平面的概念与基本性质②空间直线、平面之间的各种位置关系难点：①证明点共线、线共点、点线共面等②异面直线的判定知识归纳1．平面的基本性质(1)连接两点的线中，线段最短；过两点有且只有一条直线．(2)基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面．基本性质3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有经过这个公共点的一条直线．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间两条直线(1)平行直线①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．②基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．③等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角相等．(2)异面直线既不相交，又不平行的两条直线叫做异面直线．(3)垂直直线空间中如果两条直线相交于一点，或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．3．直线和平面的位置关系(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点直线与平面相交和平行统称直线在平面外．4．平面与平面的位置关系(1)平行——没有公共点；(2)相交——有一条公共直线．5．空间四边形顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形叫做空间四边形，所连接的相邻顶点间的线段为空间四边形的边，连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．误区警示1．异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．而不是分别在两个平面内．理解定义一定要准确．2．等角定理是求空间中两条直线所成角的基础，运用定理时，应注意“这两个角相等或互补”，只有在“方向相同”时才相等．3．同一平面内两条直线不平行则必相交，但在空间中则不然，平面几何中的一些结论在空间中未必成立．一、共线与共面问题证明共线时，所共的直线一般定位为两个平面的交线；证明共面问题时，一般先由已知条件确定一个平面(有平行直线的先用平行直线确定平面)，再证其它元素在该平面内．二、异面直线问题1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：连接平面外一点A与平面内一点B的直线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：假设两直线共面，则可能平行，也可能相交，按已知条件对两种情形进行推理产生矛盾．2．(理)求异面直线所成角空间的角在教材中全移到了空间向量与立体几何中学习，这是因为用向量方法处理这部分内容可以降低难度，但复习时，可以移到前面加以整合，相关问题可以用纯几何方法求解，也可以用向量知识求解，增加解决问题方法的可选性．异面直线所成角的大小，是用过空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的．因此，平移直线是求异面直线所成角的关键．这里给出几种平移直线的途径．(1)在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实际情况构造辅助平面，在辅助平面内平移直线构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之一；这种方法常常是取两条异面直线中的一条和另一条上一点确定一个平面，在这个平面内过这个点作这条直线的平行线，或在两条异面直线上各选一点连线，构造两个辅助面过渡．[例1]如下图所示，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．解析：在平面ABB1A1内作EN∥AM交AB于E，则EN与CN所成的锐角(或直角)即为AM和CN所成的角．设正方体棱长为a.在△CNE中，可求得CN＝52a，NE＝54a，CE＝174a，由余弦定理得，cos∠CNE＝EN2＋CN2－CE22EN·CN＝25.即异面直角AM与CN所成角的余弦值为25.(2)利用平行平面平移直线构成可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之二；这种方法常见于两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可利用面面平行的性质，将一条直线平移到另一条所在的平面内．[例2]如下图所示，正方体AC1中，B1E1＝D1F1＝A1B14，求BE1与DF1所成角的余弦值．解析：∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，∴在A1B1上取H，使A1H＝A1B14，即可得：AH∥DF1.引NH∥BE1，则锐角∠AHN就是DF1与BE1所成的角．设正方体棱长为a，在△AHN中，易求得：AN＝a2，AH＝NH＝BE1＝174a.由余弦定理得，cos∠AHN＝AH2＋HN2－AN22AH·HN＝1517.即BE1与DF1所成的角的余弦值为1517.(3)整体平移几何体，构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之三．这种方法常常是将原有几何体上再拼接上同样的一个几何体(相当于将原几何体作了一个平移)创造平移直线的条件．[例3]如下图长方体AC1中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，N在A1B1上，且B1N＝4.求BD1与C1N所成角的余弦值．解析：如上图所示，将长方体AC1平移到BCFE－B1C1F1E1的位置，则C1E∥BD1，C1E与C1N所成的锐角(或直角)就是BD1与C1N所成的角．在△NC1E中，根据已知条件可求B1N＝4，C1N＝5，C1E＝13，EN＝E1N2＋EE21＝417.由余弦定理，得cos∠NC1E＝C1N2＋C1E2－EN22C1N·C1E＝－35.∴BD1与C1N所成角的余弦值为35.[例1]如下图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AEEB＝CFFB＝，CGGD＝，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.共线、共面问题(1)求AHHD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点．分析：欲证三条直线EH、FG、BD相交于一点，可先证明EH与FG相交于一点P，再利用EH、FG分别在两个平面内，其交点P必落在这两个平面的交线上，证明P在BD上，证明EH与FG相交，可先利用所给条件证EF∥HG且EF≠HG.解析：(1)解：∵AEEB＝CFFB＝2，∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF⊂平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.∴AHHD＝CGGD＝3，即AHHD＝：1.(2)证明：∵EF∥GH，且EFAC＝13，GHAC＝14，∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．设EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．(2010·淮安模拟)如下图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．解析：(1)如下图，连接EF、A1B、CD1，∵BC綊A1D1，∴四边形BCD1A1为平行四边形，∴CD1∥A1B，又∵E、F分别为AB、AA1的中点，∴EF∥A1B，∴EF∥CD1，可知E、F、C、D1四点共面．(2)∵EF綊12CD1，∴D1F、CE延长后交于一点P又P∈D1F，D1F⊂平面A1D1DA，∴P∈平面A1D1DA又P∈CE，CE⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD又平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD∴P∈AD，即三线共点.[例2](2011·新乡月考)已知m、n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，则l()A．与m、n都相交B．与m、n中至少一条相交C．与m、n都不相交D．与m、n中的一条直线相交空间两条直线的位置关系分析：两条直线的位置关系有相交、平行、异面，而由条件知，l、m都在平面α内，l、n都在平面β内，显然l与m、n可以相交，故只须讨论l与m、n是否平行即可，不妨从都平行入手加以分析讨论．解析：若m、n都不与l相交，∵m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，∴m∥l、n∥l，∴m∥n∥l，这与m、n为异面直线矛盾，故l与m、n中至少一条相交．答案：B(2010·湖北文，4)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④解析：①平行关系的传递性．②举反例：在同一平面α内，a⊥b，b⊥c，有a∥c.③举反例：如图的长方体中，a∥γ，b∥γ，但a与b相交．④垂直于同一平面的两直线互相平行．故①，④正确．答案：C[例3]设直线m与平面α相交但不．垂直，则下列说法中正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不．可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不．可能与平面α垂直空间线面的位置关系解析：如下图，m是α的斜线，PA⊥α，l⊂α，l⊥AB，则l⊥m，α内所有与l平行的直线都垂直于m，故A错；即可知过m有且仅有一个平面PAB与α垂直，假设有两个平面都与α垂直，则这两个平面的交线m应与α垂直，与条件矛盾，∴B正确；又l′⊄α，l′∥l，∴l′∥α，∵l⊥m，∴l′⊥m，∴C错；又在平面α内取不在直线AB上的一点D，过D可作平面与平面PAB平行，∴m∥β，∵平面PAB⊥α，∴平面β⊥α.答案：B点评：这种判定线面位置关系的问题，一般是结合条件作图分析，构造出符合条件的图形或反例来判断．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α解析：a、b异面时，A错，C错；若D正确，则必有a⊥b，故排除A、C、D，选B.答案：B[例4]如下图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点．问：异面直线的判定及证明(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解析：(1)不是异面直线．理由：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点．∴MN∥A1C1.又∵A1A綊D1D，而D1D綊C1C，∴A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC⊂平面CC1D1，∴B∈面CC1D1D，这与ABCD－A1B1C1D1是正方体相矛盾．∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．点评：(1)见中点，应充分构造利用中位线性质转化为平行关系．(2)判定两条直线异面可用：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线，或用反证法．(3)异面直线的判定高考一般不会出大题，但在选择题中可能会涉及．(文)设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC解析：A中，∵AC与BD共面，∴A、C、B、D共面，∴AD与BC共面，故A正确；B中，假设AD与BC共面，由A知AC与BD共面矛盾，∴AD与BC异面，故B正确；D中，取BC中点M，则由AB＝AC，DB＝DC知AM⊥BC，DM⊥BC，若A、B、C、D四点共面，则A、M、D共线，∴AD⊥BC，若A、B、C、D不共面，则BC⊥平面AMD，∴BC⊥AD，故D正确；故选C.答案：C(理)下图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF是异面直线；②直线BE与直线AF是异面直线；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的序号是________．解析：原几何体如上图，∵E、F分别为PA、PD的中点，∴EF∥