2013年高考数学总复习 两角和与差的三角函数课件 新人教B版

第四节两角和与差的三角函数重点难点重点：掌握两角和、两角差、二倍角公式，并运用这些公式化简三角函数式，求三角函数值，证明三角恒等式等．难点：了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．知识归纳1．在两角和与差的公式中，以公式C(α±β)为最基本，其推导过程应熟练掌握．教材用平面向量对C(α－β)进行了推导，类似地也可以用平面向量方法推证C(α＋β)．下面用对称和两点间的距离公式给出C(α＋β)的推证过程，望细心体会其思路方法．如右图，点P1，P2，P3，P4的坐标分别为P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))，由P1P3＝P2P4及两点间距离公式得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2，整理得cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，本公式中α，β对任意角都成立．也可以先用此法导出C(α－β)．2．公式之间的关系及导出过程3．和、差、倍角公式(1)Cα±β：cos(α±β)＝.(2)Sα±β：sin(α±β)＝.(3)Tα±β：tan(α±β)＝.cosαcosβ∓sinαsinβsinαcosβ±cosαsinβtanα±tanβ1∓tanα·tanβ(4)S2α：sin2α＝.(5)C2α：cos2α＝＝＝.(6)T2α：tan2α＝.只有③和⑥对角α，β须附加限制条件，使其有意义．如⑥中须α≠kπ＋π2且α≠kπ2＋π4.(k∈Z)．2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α4．asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，tanφ＝ba.φ的终边所在象限由a，b的符号来确定．误区警示1．本节公式较多，要把握好公式的结构特征，熟悉公式的来龙去脉，这样才能准确地应用公式．特别是公式中的“＋”，“－”号要熟记，二倍角的余弦也是易记混的地方，还要注意公式的逆用、变形运用．2．三角变换常见的有变角、变名、变幂、变结构(如和积互变)等．应特别注意变换的等价性，解题过程中要善于观察差异，寻找联系，实现转化．3．在三角函数的求值、求角问题中，常常要先讨论(估计)角的取值范围，依据此范围来求角的值或讨论函数的符号．解三角函数求值(角)题，千万不要不假思索，盲目就下结论．一、公式的灵活运用1．公式的逆用与变形运用如：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)，cosα＝sin2α2sinα，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2，cos2α2＝1＋cosα2，sin2α2＝1－cosα2，tan2α2＝1－cosα1＋cosα.2．解题过程中注意公式的选取由于cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.解题时应根据不同的函数名称的需要，选取不同的形式．公式的双向应用分别起缩角升幂(1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α)和扩角降幂(sin2α＝1－cos2α2，cos2α＝1＋cos2α2)的作用．二、解题技巧1．在三角函数的化简、求值与证明中，常常对条件和结论进行恰当变换，以满足应用公式的条件．常见的有：(1)角的变换，注意拆角、拼角技巧(如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，(α＋β)＋(α－β)＝2α，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β，75°＝45°＋30°等等)；(2)名称变换(如应用π2±α正余互变，切割化弦，应用平方关系sin2α＋cos2α＝1正弦、余弦互变、弦化切等等)；(3)幂的变换(升幂缩角1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α，降幂扩角sin2α2＝1－cosα2，cos2α2＝1＋cosα2等)；(4)1的代换(1＝sin2α＋cos2α＝tanα·cotα＝sinα·cscα＝cosα·secα＝tan45°等)．(5)结构变换(如，形如asinα＋bcosβ的式子都可以通过合理的变形化为只含一个角的三角函数形式a2＋b2sin(γ＋φ)，其中α、β都是γ的表达式，φ为常数)．总之，有关三角恒等变换解题时总的思路是：切化弦，消多元，角拼凑，1代换，引辅角，化一函，降高次，化特值，找差异，求联系．[例1]计算(tan10°－3)·sin40°.解析：原式＝sin10°－3cos10°cos10°·sin40°＝2sin10°cos60°－cos10°sin60°sin40°cos10°＝－2sin50°sin40°cos10°＝－2sin40°cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.[例2]sin7°＋cos15°·sin8°cos7°－sin15°·sin8°的值为()A．2＋3B.2＋32C．2－3D.2－32解析：sin7°＝sin(15°－8°)＝sin15°cos8°－cos15°sin8°，cos7°＝cos(15°－8°)＝cos15°cos8°＋sin15°sin8°，∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝1－tan30°1＋tan30°＝2－3，故选C.答案：C2．已知三角函数值求角的步骤已知角α的三角函数值求角α，应注意所得的解不是惟一的，而是有无数多个，其解法步骤是：(1)确定角α所在的象限；(2)求对应的锐角α1.如函数值为正，求出对应的锐角α1；如函数值为负，求出其绝对值对应的锐角α1；(3)求出满足条件的角．首先根据角α所在的象限，得出0～2π间的角．如果适合已知条件的角在第二象限，则它是π－α1；如果在第三或第四象限，则它是π＋α1，或2π－α1.然后利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合．[例1](文)(2010·福建理)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于()A.12B.33C.22D.32两角和与差的三角函数解析：原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.答案：A(理)(2011·临沂模拟)已知tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)等于()A.1318B.1322C.16D.322解析：因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)．所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.答案：D点评：高考命题时，常在客观题中考查对三角函数基本公式的掌握情况，只要记准公式直接套用就能解决，都是易题．(2011·广州六校联考)已知f(x)＝cos(π2－x)＋3sin(π2＋x)(x∈R)，则函数f(x)的最大值为()A．23B．2C.3D．1解析：∵f(x)＝sinx＋3cosx＝2(12sinx＋32cosx)＝2(sinxcosπ3＋cosxsinπ3)＝2sin(x＋π3)．∴当sin(x＋π3)＝1，即x＝2kπ＋π6，k∈Z时，f(x)取得最大值，其最大值为2，故选B.答案：B点评：化为一个角的一个三角函数是讨论三角函数性质的主要途径，应注意掌握用辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tanφ＝ba)化“一角一函”.[例2](2011·石家庄质检)已知x∈(π2，π)，cos2x＝a，则cosx＝()A.1－a2B．－1－a2C.1＋a2D．－1＋a2分析：由二倍角公式可将cos2x＝a化为关于cosx的一元二次方程，由x∈(π2，π)可知cosx的符号，解方程即可．倍角公式解析：a＝cos2x＝2cos2x－1，∵x∈(π2，π)，∴cosx0，∴cosx＝－a＋12.答案：D(文)(2011·东城模拟)若sin(π－α)＝45，α∈(0，π2)，则sin2α－cos2α2的值等于________．解析：∵sin(π－α)＝45，∴sinα＝45，又∵α∈(0，π2)，∴cosα＝35∴sin2α－cos2α2＝2sinαcosα－1＋cosα2＝2×45×35－1＋352＝425.答案：425(理)(2011·沧州模拟)sin2α＝2425，0απ2，则2cos(π4－α)的值为()A.15B．－15C.75D．±15解析：∵2cos(π4－α)＝sinα＋cosα，∴[2cos(π4－α)]2＝(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝1＋2425＝4925.∵0απ2.∴cos(π4－α)0，∴2cos(π4－α)＝75.答案：C[例3]若a＝tan20°，b＝tan60°，c＝tan100°，则1ab＋1bc＋1ca＝()A．－1B．1C．－3D.3分析：观察角之间的关系有100°＋20°＝2×60°，待求式变形1ab＋1bc＋1ac＝a＋b＋cabc，因此只要利用和角公式探求abc与a＋b＋c之间的关系即可．公式的变形应用解析：∵tan(20°＋100°)＝tan20°＋tan100°1－tan20°tan100°，∴tan20°＋tan100°＝－tan60°(1－tan20°tan100°)，即tan20°＋tan60°＋tan100°＝tan20°·tan60°·tan100°，∴tan20°＋tan60°＋tan100°tan20°·tan60°·tan100°＝1，∴1ab＋1bc＋1ca＝1，选B.答案：B点评：通过观察、分析、抓住角之间的变化规律，灵活运用公式才能顺利实施解答．(2011·佛山质检)计算tan75°－tan15°－3tan15°·tan75°的结果等于()A.3B．－3C.33D．－33解析：∵tan60°＝tan(75°－15°)＝tan75°－tan15°1＋tan15°·tan75°＝3，∴tan75°－tan15°＝3(1＋tan15°·tan75°)，∴tan75°－tan15°－3tan15°·tan75°＝3，故选A.答案：A[例4](文)已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，α、β∈0，π2，则β＝________.角的变换解析：∵α、β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝437，sin(α＋β)＝5314，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝12，∵0βπ2，∴β＝π3.答案：π3(理)已知tanα＝2，tan(α－β)＝3，则tan(β－2α)的值是()A.15B.57C.56D．1分析：条件式中的角为α和α－β，即α与β－α，故待求式中的角β－2α＝(β－α)－α.解析：∵tan(α－β)＝3，∴tan(β－α)＝－3，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tanβ－α－tanα1＋tanβ－α·tanα＝1.答案：D点评：解决三角函数的化简、求值、证明等问题，熟练地进行角的变换对于迅速破解问题起着非常关键的作用．(文)(2011·定西一模)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，则β＝________.解析：∵0απ2，cosα＝17，∴sinα＝437.∵0βαπ2，∴0α－βπ2，又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314×437×3314＝12.所以β＝π3.答案：π3(理)(2011·广州调研)已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝1213，则cosα＋π4＝________.解析：因为α，β∈3π4，π，所以3π2