2013年高考数学总复习_正弦定理和余弦定理课件

第六节正弦定理和余弦定理重点难点重点：正余弦定理及三角形面积公式．难点：在已知三角形的两边和其中一边对角的情况下解的讨论．知识归纳1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC或cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.3．三角形中的常见结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)有关三角形内角的常用三角函数关系式sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC;sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2；tanA＋B2＝cotC2.(5)△ABC的面积公式有：①S＝12a·h(h表示a边上的高)；②S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R；③S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．④S＝PP－aP－bP－c，其中P＝12(a＋b＋c)．(6)在△ABC中，AB⇔ab⇔sinAsinB.4．解斜三角形的类型解斜三角形有下表所示的四种情况：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°求出角A；由正弦定理求出b与c；在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理由余弦定理求出第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B，由A＋B＋C＝180°求出角C，再利用正弦定理求出c边，可有两解，一解或无解，详见下表.在△ABC中，已知a、b和A时解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形A为锐角A为钝角或直角关系式absinAa＝bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解误区警示1．在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形问题时，可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解．注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．3．一般地，sinαsinβ⇔/αβ，但在△ABC中，sinAsinB⇔AB.一、判断三角形形状的方法根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边．具体有如下四种方法：①通过正弦定理实施边角转换；②通过余弦定理实施边角转换；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性的讨论；注意：在△ABC中，b2＋c2－a20⇔A为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A为直角，b2＋c2－a20⇔A为钝角．二、解题技巧1．在解斜三角形的问题中，有时所给问题在一个多边形中，需将多边形分割成三角形，有时在同一个图形中有几个三角形，解题时要先分析条件，将已知和待求量归结到一个可解的三角形中，如果不能归到同一个三角形中，则应看待求量需要在哪个三角形中解决，这个三角形中的哪个量与已知条件所在的三角形共用，先解可解的三角形求出这个量或建立方程求解．2．在△ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是cosA＋cosB0.简证如下：C有解⇔A＋B有解⇔0A＋Bπ⇔0Aπ－Bπ⇔cosAcos(π－B)⇔cosA－cosB⇔cosA＋cosB0.因此判断C是否有解，只须考虑cosA＋cosB的符号即可．了解这一结论，对做选择题或填空题来说，将十分方便．[例1]在△ABC中，sinA＝513，cosB＝45，求cosC.解析：∵sinA＝513，∴cosA＝±1213当cosA＝1213时，满足cosA＋cosB0当cosA＝－1213时，cosA＋cosB0，∴cosA＝－1213舍去∴cosC＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝513×35－1213×45＝－3365.点评：可利用大边对大角讨论：由cosB＝45得sinB＝35513＝sinA，∴ba，即BA，∴A为锐角，∴cosA＝1213，以下略．[例1](1)在△ABC中，若a＝4，B＝30°，C＝105°，则b＝________.(2)(2011·北京西城区期末)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则角A等于()A．150°B．90°C．60°D．30°正弦定理的应用解析：(1)已知两角和一边只有一解，由B＝30°，C＝105°得，A＝45°，由正弦定理得，b＝asinBsinA＝4sin30°sin45°＝22.(2)根据正弦定理得1sinA＝2sin45°，∴sinA＝12，∵ab，∴A为锐角，∴A＝30°，故选D.答案：(1)22(2)D点评：(1)已知两角和一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论．这是易错的地方，也是常考查的地方．在△ABC中，(1)若A＝105°，B＝30°，c＝6，则b＝________.(2)若A＝30°，a＝3，b＝4，则△ABC解的情况为()A．一解B．两解C．无解D．无法判定解析：(1)C＝180°－(A＋B)＝45°，由正弦定理得，csinC＝bsinB，∴6sin45°＝bsin30°，∴b＝6sin30°sin45°＝32.(2)∵4sin30°＝234，∴此三角形有两解，如图．答案：(1)32(2)B[例2]在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c＝21，b＝4，且BC边上的高AD＝23.则(1)角C＝________；(2)a＝________.余弦定理的应用分析：已知三角形的两边与第三边上的高解三角形，条件分布在两个三角形(△ABD和△ACD)中，由这两个直角三角形可求角B和角C，然后依据正弦定理可求边a；也可以先解Rt△ACD求出角C，在△ABC中由余弦定理求边a，或由b，c，AD先求BD和CD，再求a＝BD＋CD.解析：△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，则D在线段BC上，sinC＝234＝32，则C＝60°.又由余弦定理可知(21)2＝42＋a2－2·4·a·12，即a2－4a－5＝0，∴a＝5或a＝－1(舍)．因此所求角C＝60°，a边长为5.答案：(1)60°(2)5点评：解三角形时，找三边一角之间的关系，常用余弦定理，两边两角之间的关系常用正弦定理．(文)(2011·南昌调研)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：由条件得cosB＝a2＋c2－b22ac＝32，∴B＝π6.答案：A(理)(2011·大连统考)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝()A.14B.34C.24D.23解析：由题意得b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－a×2a2a×2a＝34，故选B.答案：B[例3]根据所给条件，判断△ABC的形状．(1)若acosA＝bcosB，则△ABC形状为________．(2)若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC形状为________．三角形形状的判定解析：(1)由余弦定理得acosA＝bcosB⇒a·(b2＋c2－a22bc)＝b·(a2＋c2－b22ac)⇒a2c2－a4－b2c2＋b4＝0，∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0∴a＝b或c2＝a2＋b2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．(2)由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC即tanA＝tanB＝tanC，∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．答案：(1)等腰或直角三角形(2)等边三角形点评：根据已知条件，适当选取定理，化边为角或化角为边，进行边角互化，是解决这类问题的基本途径．(文)(2011·福建三中期末)若a、b、c是△ABC的三边，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相离，则△ABC一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析：由题设知|c|a2＋b21，即a2＋b2c2，即a2＋b2－c20，于是cosC＝a2＋b2－c22ab0，所以∠C为钝角．故△ABC为钝角三角形．答案：D(理)(2011·天津模拟)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．正三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴1＋cosB2＝sinA＋sinC2sinC，∴sinCcosB＝sinA，∴sinCcosB＝sin(B＋C)，∴sinBcosC＝0，∵0B，Cπ，∴sinB≠0，cosC＝0，∴C＝π2，故选A.答案：A[例4]已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且a＝4，b＋c＝5，tanB＋tanC＋3＝3tanB·tanC，则△ABC的面积为()A.34B．33C.334D.34三角形的面积公式分析：由tanB＋tanC及tanB·tanC联想到两角和的正切公式：tan(B＋C)＝tanB＋tanC1－tanB·tanC，又tan(B＋C)＝tanA，故由条件式变形可求角A，问题转化为已知边a角A和b＋c求△ABC的面积，因此S△ABC＝12bcsinA，只须用余弦定理建立a、A、b、C的方程，整体处理求出bc即可获解．解析：∵tanB＋tanC＋3＝3tanB·tanC，∴tanB＋tanC＝－3(1－tanB·tanC)⇒tanB＋tanC1－tanB·tanC＝－3⇒tan(B＋C)＝－3，∴B＋C＝120，∴A＝60°，将A＝60°，a＝4，b＋c＝5代入a2＝b2＋c2－2bccosA，得16＝25－2bc－2bc·12，∴bc＝3，∴S△ABC＝12bcsinA＝334，故选C.答案：C(文)(2011·南京一模)在△ABC中，已知A＝60°，AB→·AC→＝1，则△ABC面积为________．解析：∵AB→·AC→＝1，∴|AB→|·|AC→|cos60°＝1，∴|AB→|·|AC→|＝2，∴S△ABC＝12|AB→|·|AC→|sinA＝12×2×32＝32.答案：32(理)(2011·新课标全国文，15)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．解析：由余弦定理知72＝52＋BC2＋5BC，即BC2＋5BC－24＝0，解之得BC＝3，所以S＝12×5×3×sin120°＝1534.答案：1534[例5]已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且3sin2B＋3sin2C－2sinBsinC＝3sin2A，a＝3，求AB→·AC→的最大值．分析：所给条件式为角的关系，又均为“二次”式，故化角为边后可利用余弦定理寻求联系求解．综合应用解析：∵3sin2B＋3sin2C－2sinBsinC＝3sin2A，由正弦定理得3b2＋3c2－2bc＝3a2，即3b2＋3c2－3a2＝