2013版高中全程复习方略配套课件：3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式(人教A版・数学理)浙江专

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式三年9考高考指数:★★★1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考的常考点.2.公式逆用、变形应用是高考热点.3.在选择题、填空题、解答题中都有所考查.1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式公式名公式两角和与差的正弦两角和与差的余弦两角和与差的正切sin()___________________sincoscossincos()___________________coscossinsintan()___________________tantan1tantan【即时应用】(1)判断下列式子的正误.（请在括号内打“√”或“×”)①cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°()②sin15°=sin(45°-30°)=cos45°sin30°-sin45°cos30°()③cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°()④cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°()（2）计算sin72°cos18°+cos72°sin18°=______.（3）计算cos72°cos12°+sin72°sin12°=______.【解析】(1)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°·sin30°,故①错误；sin15°=sin(45°-30°)=sin45°·cos30°-cos45°sin30°，故②错误;③正确，cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°,故④错误.(2)原式=sin(72°+18°)=sin90°=1.(3)原式=cos(72°-12°)=cos60°=答案：(1)①×②×③√④×(2)1(3)1.2122.二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式二倍角的正弦二倍角的余弦二倍角的正切sin2___________________2sincoscos2___________22cossin__________22cos1__________212sintan2__________22tan1tan【即时应用】(1)思考：二倍角公式tan2α=中对任意的α都成立吗？提示：不一定,当α≠kπ+,2α≠kπ+(k∈Z)时，公式成立.22tan1tan22(2)的值等于______.【解析】答案：（3）若则tan2α=______.【解析】答案：1sin15cos1521111sin15cos152sin15cos15sin30.2448181tanα,222122tanα142tan2α.131tanα31()2443三角函数的化简【方法点睛】三角函数化简的技巧、方法和要求（1）寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；（2）正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；（3）一些常规技巧：“1”的代换、正切化弦、和积互化、异角化同角等．（4）三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．(5)化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.【提醒】公式的逆用、变形用十分重要，特别是1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,形式相似，容易出错，应用时要加强“目标意识”.【例1】化简下列各式：（1）______.（2）______.【解题指南】（1）若注意到化简式是开平方根和2α是α的二倍，α是的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母可通过二倍角公式化简，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点.11113πcos2α(α(,2π))22222222cosαsinαππ2tan(α)cos(α)442【规范解答】(1)因为所以又因为所以所以，原式=(2)原式答案：(1)(2)13πα2π,2＜＜11cos2αcosαcosα,223παπ,42＜＜11ααcosαsinsin,2222αsin.22cos2αππ2tan(α)cos(α)44cos2αcos2αcos2α1.πππcos2α2sin(α)cos(α)sin(2α)442αsin2【反思·感悟】1.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系，是常用的三角变换.2.化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧.3.常用的公式变形：ππ2α,α,α44πππcos2αsin(2α)2sin(α)cos(α)24422sin2α1cos2α1cos2αcosαcosα,sinα.2sinα22，三角函数的求值【方法点睛】三角函数的求值主要有两种类型，即给角求值，给值求值(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数.(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【例2】（1）(2012·台州模拟）求值：（2）若求的值.【解题指南】(1)sin80°=cos10°,对tan10°切化成弦.（2）可以利用的变换，同时要注意x的范围和符号，求出sinx和cosx代入原式求解；也可以化简原式后得到二倍角与和角的三角函数，利用的变换，再利用两角差的余弦和二倍角公式求解.2sin50sin8013tan10;1cos10（）π3177cos(x),πxπ,45124＜＜2sin2x2sinx1tanxππx(x)44ππ2x2(x)42【规范解答】(1)方法一：原式=方法二：2sin50cos103sin102sin502sin402cos52cos52sin502cos5022sin50452cos52cos522sin9522cos52.2cos52cos5（）312sin10cos1022cos102sin10302sin40cos10cos10（）（），cos103sin1013tan10cos10∴原式（2）方法一：由得又因为从而2sin502cos5022sin504522sin9522cos52.2cos52cos52cos52cos5（）2sin402sin50cos102sin502sin40cos102cos52cos5177πxπ,124＜＜5ππx2π,34＜＜π3π4ππcos(x),sin(x).cosxcos(x)454544［］ππππ2cos(x)cossin(x)sin,44441072sinx,tanx7.10原式方法二：原式而所以，原式22sinxcosx2sinx1tanx2722722()()2()28101010.17752sinxcosx1tanx1tanxπsin2xtan(x),42ππππ7sin2xsin2(x)cos2(x)2cos(x)1,424425［］［］πsin(x)π44tan(x),π43cos(x)47428().25375【反思·感悟】1.若将本例（2）中的左边展开成再求cosx,sinx的值就很繁琐，把作为整体，并注意角的变换这样就可运用二倍角公式.化难为易，化繁为简是三角恒等变换的关键.2.解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角.π3cos(x)45ππ3coscosxsinsinx,445πx4ππ2x)2x,42（三角函数的给值求角【方法点睛】1.三角函数的给值求角问题的一般思路(1)求出该角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出角.2.三角函数给值求角时应注意的问题求角的某一三角函数值时,尽量选择在该角所在范围内是单调的函数，这样,由三角函数值才可以唯一确定角.（1）若角的范围是(),选正、余弦皆可;（2）若角的范围是(0,π),选余弦较好;（3）若角的范围为(),则选正弦.π0,2ππ,22【例3】已知且0＜β＜α＜(1)求tan2α的值；(2)求β.【解题指南】（1）利用同角三角函数关系式求出sinα,tanα,再求出tan2α；（2）把β写成α-(α-β)，根据已知条件求出α的正弦，α-β的正弦，求出cosβ，根据范围确定角.113cosα,cosαβ,714π.2【规范解答】(1)由得于是(2)由0＜β＜α＜,得0＜α-β＜又1πcosα,0α,72＜＜22143sinα1cosα1().77sinα437tanα43.cosα71222tanα24383tan2α.1tanα471(43)π2π.213cosαβ,14221333sinαβ1cosαβ1().1414由β=α-(α-β),得cosβ=cos［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)11343331,7147142πβ.3【反思·感悟】根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinBcosA＝sinAcosB两端同除以cosAcosB得tanB=tanA等变化技巧也经常用到.三角函数的综合应用三角函数公式和三角函数性质的关系（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为y=Asin(ωx+）的形式,再进一步探讨定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.（2）注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用，主要考查基本运算能力．【例4】已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在区间［］上的最大值和最小值.【解题指南】先利用诱导公式和倍角公式进行恒等变换，再求三角函数的性质.【规范解答】（1）∵f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,∴函数f(x)的最小正周期为π.ππ,62(2)由∴f(x)在区间［］上的最大值为1，最小值为-3sin2x1,2≤≤πππx2xπ,623≤≤≤≤ππ,623.2【反思·感悟】利用三角函数公式进行三角恒等变形，要求熟练掌握公式和变换技巧，强化运算能力.以基本三角函数的性质为基础求y=Asin(ωx+φ)的性质，有时给出角的范围时要注意ωx+φ的范围的变化.【满分指导】三角函数主观题的规范解答【典例】（14分）(2011·广东高考）已知函数f(x)=2sin(),x∈R.(1)求f()的值;(2)设α，β∈［0,］,f(3α+)=f(3β+)=求cos(α+β)的值.1πx365π4π2π2