关于左右导数和导数的左右极限

1左右导数和导数的左右极限函数)(xf在0x点的左导数定义为)(0xfxxfxxfx)()(lim000。函数)(xf在0x点的右导数定义为)(0xfxxfxxfx)()(lim000。函数)(xf在0x点导数的左极限定义为)0(0xf)(lim00xfxx。函数)(xf在0x点导数的右极限定义为)0(0xf)(lim00xfxx。在很多情况下，导数的左极限)(lim00xfxx往往就是左导数)(0xf，导数的右极限)(lim00xfxx往往就是右导数)(0xf。例如，函数111)(2xxxxxf。在1x点的左导数为)1(f1111lim)1()1(lim00xxxfxfxx；导数的左极限为)(lim01xfx1)1(lim)1(lim20101xxxx，两者是一样的。在1x点的右导数为21)1(lim)1()1(lim)1(200xxxfxffxx；导数的右极限为)(lim01xfx2)2(lim)(lim01201xxxx，两者也是一样的。但有时候，导数的左极限)(lim00xfxx并不等于左导数)(0xf，导数的右极限)(lim00xfxx并不等于右导数)(0xf。2例如，函数010)(2xxxxf。在0x的左导数为)0(fxxxfxfxx1)0(lim)0()0(lim200；导数的左极限为)(lim0xfx0)2(lim)(lim020xxxx，显然两者是不一样的。在0x的右导数为)0(fxxxfxfxx1)0(lim)0()0(lim200；导数的右极限为)(lim0xfx0)2(lim)(lim020xxxx，显然两者也是不一样的。又例如，函数0001sin)(2xxxxxf（见下图）。在0x的左导数为)0(fxfxfx)0()0(lim0xxxx01sin)(lim2001sinlim0xxx；而导数的左极限的计算式为)(lim0xfx)1cos(lim)1cos1sin2(lim)1sin(lim0020xxxxxxxxx，这个极限不存在。在0x的右导数为)0(f01sinlim01sin)(lim)0()0(lim0200xxxxxxfxfxxx；而导数的右极限的计算式为)(lim0xfx)1cos(lim)1cos1sin2(lim)1sin(lim0020xxxxxxxxx，这个极限不存在。