5-无穷小量无穷大量、极限的运算

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第五讲无穷小量与无穷大量、极限的运算法则第二章极限本次课学习要求：理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。掌握极限的运算法则。第三节无穷小量与无穷大量一.无穷小量二.无穷大量一、无穷小量及其运算性质简言之,在某极限过程中,以0为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.例1.,00,lim)1(220是一个无穷小量时xxxx.sin,00,sinlim)2(0是一个无穷小量时xxxx.1,0,1lim)3(是一个无穷小量时xxxx.cos,20,coslim)4(2是一个无穷小量时xxxx0,0lim)5(在任何一个极限过程中,常值函数y=0均为无穷小量.1.无穷小量的定义,)0(0,0使当若X,)||(||00时Xxxx|)(|xf,)()(,0时当则称成立xxxxf.为无穷小量定义2.函数的极限与无穷小量的关系分析,||0,0,)(lim00时当则若xxaxfxx,|0))((||)(|axfaxf.)(,0是一个无穷小量时即当axfxx,)(0)(,)()(0且则令xxxaxfx.)()()(0xxxaxf反之亦然.由以上的分析,你可得出什么结论?由此可看出,寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则.定理)(lim)(0axfxxx,)()(xaxf.))(,(0)(,0xxxx其中同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量.同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量.3.无穷小量的运算法则常数与无穷小量之积仍为无穷小量.在某极限过程中,以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量.在某一极限过程中,无穷小量与有界量之积仍是一个无穷小量.证明：在某极限过程中,两个无穷小量之和仍是一个无穷小量.证,,0则时的两个无穷小量为设xx,0,2||,||0,0101时当xx,2||,||0,0202时当xx,||0,},min{021有时则当取xx,22||||||.,0是一个无穷小量时即xx证明:在某一极限过程中,无穷小量与有界量的积仍是一个无穷小量.证,00,)(10和即时的有界量是设Mxxxf.|)(|,),U(10Mxfxx时使当,0,0,)(0)(20使当则又设xxx.|)(|,||020Mxxx时,||0},,min{021时则当令xxMMxxfxxf|)(||)(||)()(|.)()(,0为无穷小量时故当xxfxx例2证0sin1limxxx证明)(,01lim无穷小量因为xx)(,),(1|sin|有界量xx.0sin1limxxx故证明：在某极限过程中以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量.证.)(0)(;0,)(lim00xxxaaxfxx设,||0,0,2||000有时当则取xxa,2|||)(|aaxf,),U(||2)(12|||)(|||00xxaxfaxfa故.)(1,0有界时即xfxx.0)()(lim0xfxxx故有界量与无穷小量之积(i)一般说来,有界量的倒数不一定有界.例如,f(x)=x,x(0,1).(ii)我们没有涉及两个无穷小量商的极限的情形,因为它的情形较复杂,将在以后专门讨论.注意：.,3,,,0,223223的情况时可观察例如xxxxxxx例3.4lim230xxx求解)(,0lim30无穷小量由于xx)(,4)4(lim20极限不为零xx.04lim230xxx故二.无穷大量,||,0,0有时当若XxXM定义Mxf|)(|,)(,记为时的无穷大量为则称成立xxf.)()()(limxxfxfx或.)(lim,)(称为正无穷大量　　则　换成xfMxfx.)(lim,)(称为负穷大量　　则　换成xfMxfx1.无穷大量的定义例4,(i)2xy,ln(iii)xy.lim2xx,lnlim0xx.lnlimxx,tan(iv)xy,tanlim2xx.tanlim2xx,(ii)3xy.lim3xx(iii),(iv)自己画画图会更清楚.例5?)2(,是否为无穷大量时当nnxn解有时则当取,,][log2NnMNMn|)2(|.)2(limlimnnnnx故,0M2|)2(|||Mxnnn要,log2Mn无穷大量是按绝对值定义的.例6无穷大量是否一定是无界量?在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量?.2)1(,,0,2,0,,4,0,2,0:}{,nnxnxnnn例如0,,的项使总有等于时当取多么大不论NnN||Mxn.}{,,不是无穷大量时故当不成立nxn但该数列是无界的.当x时,函数sinx、cosx,是否为无穷大量？因为sinx、cosx是有界函数,所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量.2.无穷大量与无穷小量的关系(无穷大量的倒数为无穷小量,x0)(无穷小量的倒数为无穷大量,x0)则例7.0),(,1)(xxxxf且设.01lim)1(xx.1lim)2(0xx在某一极限过程中根据定义同学们课后自己进行证明.定理,0)()(xfxf是一个无穷大量且若.)(1为无穷小量则xf,0)()(xfxf是一个无穷小量且若.)(1为无穷大量则xf,)(limxf若无穷大量一定是同一极限过程中的无界量.反之不真.|)(|limxf则3.无穷大量的运算性质在某极限过程中,两个无穷大量之积仍是一个无穷大量.在某极限过程中,无穷大量与有界量之和仍为无穷大量.,0,,0,0:}{nnyx,8,6,4,2:}{nnyx,)1(,,4,32,,1:}{nxnn,)1(,,4,32,,1:}{1nynn此时时显然.,,,nnyxn不是无穷大量是无穷大量例8两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?考察例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？不着急,看个例题:,)()(1xxxf1,1|)(|,)1||(2xxgxx时不妨设当.)(011)()(21xxxxxgxf而,)()(32xxxf.)(1)()(232xxxxxgxf例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？不着急,看个例题:,)()(1xxxf1,1|)(|,)1||(2xxgxx时不妨设当.)(011)()(21xxxxxgxf而,)()(32xxxf.)(1)()(232xxxxxgxf不一定再是无穷大量.结论:在某个极限过程中,无穷大量一定是无界量,但无界量不一定是无穷大量.两个无穷大量的和不一定是无穷大量.无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.第四节极限的运算极限运算法则的理论依据)(limaxf)()(xaxf)0)((x依据无穷小量的运算法则定理法则,)(lim,)(lim则存在设bxgaxf.)0,(,)(,)(bxgaxf在该极限过程中,)()()()(baxgxf,)())(()()(baabbaxgxf.)0(,)()()(bbbabbababababaxgxf由此你能不能写出极限四则运算公式？一.极限的运算法则和的极限等于极限的和.乘积的极限等于极限的乘积.商的极限等于极限的商(分母不为零).差一点!?结论成立的条件.设在某极限过程中,函数f(x)、g(x)的极限limf(x)、limg(x)存在,则)0)(lim()(lim)(lim)()(lim.4xgxgxfxgxf)()(lim)(lim.2为常数kxfkxfk)(lim)(lim)()(lim.3xgxfxgxf)(lim)(lim)]()(lim[.1xgxfxgxf)]([lim)](lim[.5nnxfxf)(lim)(lim,)()(.6xgxfxgxf则若在极限过程中法则1、3可推广至有限个函数的情形.法则6中)()(xgxf)()(xgxf换成其极限仍为.)(lim)(limxgxf注：由极限运算理论根据中的定理及无穷小量的运算法则,容易证明上述各公式.复合函数的极限.)()())((复合而成及是由设xuufyxfy:由极限的概念可知.),U(0uu有,),(Uˆ,0,0,)(lim00时当即uuaufuu.),U(ay有,),(Uˆ,0,0,)(lim000时当即xxuxxx),U(),(Uˆ0,000uuxx.),U(ay有什么问题没有？7.复合函数的极限计算定理.)()())((复合而成及是由设xuufyxfy,)()(Uˆ,)(lim0000又有内且在若uxxuxxx.)(lim))((lim,)(lim000aufxfaufuuxxuu则注意这个条件,缺了它定理不一定成立..,)(0在定义域内的值是的“自变量”是函数uuufu证由极限的定义,即要证明：,||0,0,00有时使当xx.|)(||))((|aufaxf,0,0,)(lim0故由aufuu,||00时当uu.|)(|auf,0,0,)(lim100故对上面的又uxxx,||010时当xx.|)(|||00uxuu则取中设在},,min{,)(),(Uˆ21020uxx,))((||0,||0000uxuuxx时当.|)(|,auf从而综上所述：,||0,0,00时当xx|)(||))((|aufaxf.)(lim))((lim00aufxfuuxx即该定理可以推广到其它几种极限过程中去.解例1.35123lim2232xxxxxx求35123lim2232xxxxxx3163252122223223求有理分式函数xx0的极限时,若分母不等于零,则可直接代值计算.解例2.1)31)(21)(1(lim0xxxxx求.,,0lim0不能直接用公式计算所以由于xxxxxxx1)31)(21)(1(lim0xxxxx161161lim320.6)6116(lim20xxx初等展开解例3.22325lim2xxx求.,0)22(lim2故不能直接用公式计算由于xx)22)(22)(325()22)(325)(325(lim22325lim22xxxxxxxxxx)42)(325()22)(42(lim2xxxxx.32)325(lim)22(lim32522lim222xxxxxxx有理化解例4.)2(1limxxxx求))(()2(1limxxxxxxxxxxxx2)2)(2(1li