函数、极限、连续ppt

1引言一、什么是高等数学?初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学—研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.恩格斯2哪些主要的科学问题呢?有四种主要类型的问题.Archimedes3第一类问题已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。4困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而0/0是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。第一类问题5求曲线的切线。这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。第二类问题6第二类问题困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。7第三类问题求函数的最大最小值问题。十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以角发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。458困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。第三类问题9第四类问题求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。10困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。第四类问题111.分析基础:函数,极限,连续2.微积分学:一元微积分3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容多元微积分12二、如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.由薄到厚,由厚到薄.马克思恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.华罗庚1函数、极限与连续1.1函数1.2初等函数1.3极限概念1.4极限的计算1.5无穷小量与无穷大量1.6函数的连续性1.1函数1.1.1区间及邻域1.1.2函数的定义1.1.3医学中常用的函数表示法1.1.4函数的性质1.1.1区间及邻域区间(interval)开区间},{),(Rxbxaxbaab闭区间},{],[Rxbxaxbaab半开半闭区间(a,b]、[a,b)以上区间统称为有限区间无限区间(P.1自学)邻域(neighborhood)邻域是一种特殊的区间。点a的δ邻域},{),(RxaxxaUaa-δa+δδδ点a的空心邻域},0{),(RxaxxaUoaa-δa+δδδ右邻域(a,a+δ)，左邻域(a-δ,a)1.1.2函数的定义(function)设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某个范围D内的每一个确定的值,按照某个对应法则f，y都有（唯一）确定的值与它对应，则称变量y是确定在D上的x的函数。定义1.1x：自变量x的取值范围D：定义域y：因变量(函数变量)函数值y的取值范围：值域，记为f(D)}),({)(DxxfyyDf(function)记为：y=f(x)，x∈D1.决定一个函数的因素有哪些？2.如何确定函数的定义域？1.1.3医学中常用的函数表示法列表法用表格列示出x与y的对应关系。图像法以数对(x,y)为点的坐标描绘出能反映x解析法用等式表示出x与y的关系。优点：便于查出函数值。与y的对应关系的曲线。优点：容易观察函数的变化趋势。优点：便于从理论上对函数进行定性研究与定量分析。医学和物理学中常用的分段函数：例1.1.1符号函数.)0(,1)0(,0)0(,1)sgn(xxxxxyo-11例1.1.2脉冲函数.)(,0)(,1)(nTtnTttyxoy例1.1.3)1(1)10)(2xxxxxf（xyo1.1.4函数的性质奇偶性设函数y=f(x)，x∈D，D是对称于原点的数集。若对D上任何x，如果f(－x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数；如果f(－x)=－f(x)，则称y=f(x)为奇函数。偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。单调性设函数y=f(x)，x∈D。若对于D内任意两个x1，x2，当x1x2时，总有f(x1)≤f(x2)，则称函数y=f(x)是D上的单调递增函数；当x1x2时，总有f(x1)≥f(x2)，则称函数y=f(x)是D上的单调递减函数。递增函数的图像一般是上升的，递减函数的图像一般是下降的。周期性设函数y=f(x)，x∈D。若存在常数T，使对D上任何x，都有f(x+T)=f(x)则称y=f(x)为周期函数。并称T为y=f(x)的一个周期。若在周期函数的所有周期中有一个最小正常数，则称其为基本周期。有界性设函数y=f(x)，x∈D。若存在正数M，使对D上任何x，都有︱f(x)︱≤M则称f(x)在D上有界，并称f(x)是D上的有界函数。否则，称函数f(x)在D上无界。有界函数的图像必落在直线y=M与y=-M之间的带形区域内。1.结论“函数y=3x+5是无界函数”正确否?2.结论“函数y=cosx不是单调函数”正确否？3.考察函数y=1/x在[1,+∞)的单调性和有界性。26且证明证:令,1xt则,1txtctfbfat)()(1由xcxfbfax)()(1消去),(1xf得时其中a,b,c为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设272.设函数),(,)(xxfy的图形与,ax均对称,求证)(xfy是周期函数.)(babx证:由)(xaf)(xf的对称性知),(xaf)(xbf)(xbf于是)(xf)(axaf)2(xaf故)(xf是周期函数,周期为1.2初等函数1.2.1基本初等函数1.2.2复合函数1.2.3反函数1.2.4隐函数1.2.5初等函数1.2.1基本初等函数(basicelementaryfunction)P.6表1.21.2.2复合函数设y=lnu，u=1-x2。问：能否通过变量u，将y表示成以x为自变量的函数？当x∈(-1,1)，能通过变量u将y表示成x的函数：y=ln(1-x2),x∈(-1,1)当x∈(-∞,-1]∪[1,+∞)时，不能通过变量u将y表示成x的函数。D*定义1.2(复合函数)设y是u的函数y=f(u)，u是x的函数u=φ(x)。D*表示u=φ(x)的定义域中使得函数y=f(u)有意义的全体x的非空集合。则当x∈D*时，函数u=φ(x)所对应的u值使得函数y=f(u)有确定的值与x相对应，从而得到一个以x为自变量，y为因变量的函数，记为y=f[φ(x)]，x∈D*这时，称y为x的复合函数。其中，称y=f(u)为外函数，u=φ(x)为内函数，u为中间变量。复合函数的映射示意图yuxy=f(u)u=φ(x)y=f[φ(x)]说明：1.复合函数还可以由多个（三个及其以上）基本初等函数经多次复合构成。2.并不是任何两个函数都可以复合成有意义的复合函数。如y=ln(u-8)与u=sinx构成的复合函数y=ln(sinx-8)就没有意义。写出由y=eu，u=-2x复合而成的函数。复合函数为y=e-2x，x∈(-∞,+∞)。例1.2.1解：例1.2.2分解复合函数y=lntanx。解：y=lnu，u=tanx。例1.2.3分解复合函数y=sin8(8x+sinx)。解：y=u8，u=sinv，v=8x+sinx。1.2.3反函数(自学)1.2.4隐函数显函数由形式y=f(x)表示的函数。隐函数由方程F(x,y)=0表示的函数。如x2+y2=R2yx+ln(xy)+sin(xy)+8=01.2.5初等函数(Elementaryfunction)由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合步骤所构成的，能用一个解析式子表示的函数称为初等函数。初等函数是高等数学的主要研究对象。在高等数学中，把不是初等函数的函数统称为非初等函数。如：有些分段函数就不是初等函数。37非初等函数举例:符号函数当x0当x=0当x0xyo11取整函数当xyo13421238内容小结1.集合区间、邻域定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构2.函数的定义及函数的二要素1.3极限概念1.3.1数列极限1.3.2函数极限1.3.3单侧极限极限是一种非初等运算极限以发展的眼光分析事物(变量)的变化规律极限是高等数学中一种重要的研究方法40刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.的方法:1.3.1数列极限(limitofsequence)数列极限的实质：考察当n→+∞时，数列{an}的通项an的变化趋势。引例考察数列{an}的变化趋势：:)1(1nn:1nn:n:)1(n,)1(,,41,31,21,11nn,1,,43,32,21nn,,,3,2,1,0n,)1(,,1,1,1,1nOx-11a1a2a3a4……Ox21a1a2a4an…3n…Ox-1a2n-1a2n1a3定义1.3已知数列{xn}，A是某确定常数。若当数列的项数n无限增大时，数列的项xn与常数A的距离|xn-A|任意小，则称数列{xn}以常数A为极限，记为Axnnlim或)(nAxn如果一个数列的极限存在，则称该数列是收敛(converge)的；如果一个数列的极限不存在，则称该数列是发散(diverge)的。43定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当nN时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:aa)(axan)(Nn即),(axn)(Nnaxnnlim或)(naxn1Nx2Nx则称该数列的极限为a,例1.已知证明数列的极限为1.证:1nx1)1(nnn,0欲使即只要1n因此,取,]1[N则当Nn时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn45例2.已知证明证:0nx2)1(1n11n,)1,0(欲使只要,11n即n取,]11[N则当Nn时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn故也可取][1N也可由2)1(10nnx.11N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取11N4623ba22abnabax收敛性质证:用反证法.及且.ba取因,limaxnn故存在N1,从而2banx同理,因,limbxnn故存在N2,使当nN2时,有2banx1.收敛数列的极限唯一.使当nN1时,假设22abnabbxnbax223ab从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,,,max21