《定积分的简单应用》课件

定积分的简单应用教学目标：应用定积分的思想方法，解决一些简单的诸如求曲边梯形面积、变速直线运动的路程、变力作功等实际问题．1、定积分的几何意义（1）当f(x)≥0时，表示的是y=f(x)与x=a,x=b和x轴所围曲边梯形的面积。（2）当f(x)＜0时，y=f(x)与x=a,y=b和x轴所围曲边梯形的面积为2、微积分基本定理内容()bafxdx|()|()bbaafxdxfxdx一、复习回顾如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)和y＝g(x)围成．问题2：你能求得其面积吗？如何求？二、新课引入提示：能，先求由x＝a，x＝b和y＝f(x)围成的曲边梯形面积S1＝∫baf(x)dx，再求由x＝a，x＝b和y＝g(x)围成的曲边梯形面积S2＝∫bag(x)dx，则所求阴影部分面积为S1－S2.（一）平面图形的面积一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形的面积为S，则S＝∫baf(x)dx－∫bag(x)dx，f(x)≥g(x)．三、新课讲解解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．[例1]求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．[思路点拨]画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．考点一：求平面图形的面积[精解详析]由y＝x2－4，y＝－x＋2，得x＝－3，y＝5，或x＝2，y＝0，所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3，5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S＝2－3(－x＋2)dx－2－3(x2－4)dx＝2x－12x2|2－3－13x3－4x|2－3＝252－－253＝1256.[一点通]求由曲线围成图形面积的一般步骤：①根据题意画出图形；②求交点，确定积分上、下限；③确定被积函数；④将面积用定积分表示；⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．1．(2011·湖南高考)由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.12B．1C.32D.3解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分cosxdx＝sinx＝32－－32＝3.答案：D3-3-332．求y＝－x2与y＝x－2围成图形的面积S.解：如图，由y＝x－2，y＝－x2得交点A(－2，－4)，B(1，－1)．∴围成图形(阴影部分)面积为S＝∫1－2(－x2－x＋2)dx＝－13x3－12x2＋2x|1－2＝92.3、求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形的面积．[思路点拨]作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．[精解详析]作出曲线xy＝1，直线x＝y，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由xy＝1，y＝3，得x＝13，y＝3，故A13，3；由xy＝1，y＝x，得x＝1，y＝1，或x＝－1，y＝－1，(舍去)，故B(1,1)；由y＝x，y＝3，得x＝3，y＝3，故C(3,3)，故所求面积S＝S1＋S2＝1133－1xdx＋∫31(3－x)dx＝(3x－lnx)113＋3x－12x213＝4－ln3.[一点通]分割型图形面积的求解：（1）通过解方程组求出曲线的交点坐标（2）将积分区间进行分段（3）对各个区间分别求面积进而求和（被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数）4．求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围成的平面图形的面积．解：由y＝x2，y＝x，得A(1，1)，由y＝x2，y＝2x，得B(2，4)，如图所示所求面积为S＝∫102xdx－∫10xdx＋∫212xdx－∫21x2dx＝∫10(2x－x)dx＋∫21(2x－x2)dx＝∫10xdx＋∫21(2x－x2)dx＝12x2|10＋x2－13x3|21＝76.5、求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积．[分析]由题目可获取以下主要信息：①曲线y＝x，直线y＝2－x，y＝－13x；②曲线与直线相交．解答本题可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解．[解析]解法1：画出草图，如图所示．解方程组y＝xx＋y＝2，y＝xy＝－13x及x＋y＝2y＝－13x，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S＝01[x－(－13x)]dx＋13[(2－x)－(－13x)]dx＝01(x＋13x)dx＋13(2－x＋13x)dx＝(23x32＋16x2)|10＋(2x－12x2＋16x2)|31＝23＋16＋(2x－13x2)|31＝56＋6－13×9－2＋13＝136.•解法2：若选积分变量为y，则三个函数分别为•x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.•因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S＝0－1[(2－y)－(－3y)]dy＋01[(2－y)－y2]dy＝0－1(2＋2y)dy＋01(2－y－y2)dy＝(2y＋y2)|0－1＋(2y－12y2－13y3)|10＝－(－2＋1)＋2－12－13＝136.[例2]有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．（二）求变速直线运动的路程、位移•[解析](1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4，•即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，•当t4时，P点向x轴负方向运动．•故t＝6时，点P离开原点的路程s1＝04(8t－2t2)dt－46(8t－2t2)dt＝(4t2－23t3)|40－(4t2－23t3)|64＝1283.当t＝6时，点P的位移为06(8t－2t2)dt＝(4t2－23t3)|60＝0.(2)依题意0t(8t－2t2)dt＝0，即4t2－23t3＝0，解得t＝0或t＝6，t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值．•[点评]路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′情况如下：(1)若v(t)≥0，则s＝abv(t)dt；s′＝abv(t)dt.(2)若v(t)≤0，则s＝－abv(t)dt；s′＝abv(t)dt.(3)若在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)0，则s＝acv(t)dt－cbv(t)dt，s′＝abv(t)dt.所以求路程时要事先求得速度的正负区间．[例3]一物体按规律x＝bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质阻力与速度的平方成正比，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功．[分析]由运动规律可求得物体的速度，再由已知F阻＝kv2，最后由W＝0tkv2·vdt，求得阻力所做的功．（三）求变力做功[解析]v＝dxdt＝(bt3)′＝3bt2，媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常数，k0.当x＝0时，t＝0，当x＝a时，t＝ab13，ds＝vdt，故阻力做的功为W阻＝0tkv2·vdt＝k0tv3dt＝k0t(3bt2)3dt＝277k3a7b2.•[点评]本题常见的错误是在计算所做的功时，误将W阻＝∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt.对于已知运动规律求做功的问题，首先确定其运动速度，进而由ds＝vdt来确定做功的积分式W＝0tFvdt.6．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走的路程为（)[答案]CA.13gt20B．gt20C.12gt20D.16gt20[解析]如果变速直线运动的速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程是abv(t)dt，∴＝12gt2t00＝12g(t20－0)＝12gt20.故应选C.7．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为()A．0.18JB．0.26JC．0.12JD．0.28J[答案]A[解析]设F(x)＝kx，则拉力1N时，x＝0.01m，•∴k＝100.这节课你学到了什么？课后作业课本P90习题4-3第1、2、3、4题。