2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第一章 1.1.2(二)余弦定理(二)

1.1.2（二）1.1.2余弦定理(二)【学习目标】1．熟练掌握余弦定理及其变形形式．2．会用余弦定理解三角形．3．能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．【学法指导】1．正、余弦定理都反映了任意三角形边角之间的具体关系，它们不是孤立的，而是相互密切联系的，处理三角形中的问题时，要注意两个定理的综合运用．2．已知三角形的两边和一边的对角解三角形时，一般用正弦定理求解，这时需讨论解的个数，也可用余弦定理求解，这时需转化成未知边的一元二次方程来求解．本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）1．余弦定理及其变形形式：a2＝⇔cosA＝；b2＝⇔cosB＝；c2＝⇔cosC＝.2．正弦定理的公式表达形式：_____＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)．b2＋c2－2bccosAb2＋c2－a22bcc2＋a2－2cacosBc2＋a2－b22caa2＋b2－2abcosCa2＋b2－c22abasinAbsinBcsinC填一填·知识要点、记下疑难点本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）3．已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是．解析x满足：1x522＋32－x2022＋x2－320，解得5x13.(5，13)填一填·知识要点、记下疑难点本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）4．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为．解析设AC＝x，则由余弦定理得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，∴49＝25＋x2－5x，∴x2－5x－24＝0.∴x＝8或x＝－3(舍去)．∴S△ABC＝12×5×8sin60°＝103.填一填·知识要点、记下疑难点103填一填研一研练一练本讲栏目开关1.1.2（二）探究点一已知两边及其中一边的对角，利用余弦定理解三角形问题在△ABC中，已知两边及其中一边的对角，解三角形．一般情况下，先利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论三角形解的个数．对于这一类问题能否利用余弦定理来解三角形？研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）探究在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝π3，a＝3，b＝1，则c等于()A．1B．2C.3－1D.3解析由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，∴12＝1＋c2－32×1×c，∴c2－2＝c，∴c＝2或c＝－1(舍)．B研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）探究点二利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式问题如何利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式？证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）探究在△ABC中，有(1)a＝bcosC＋ccosB；(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明方法一(1)由正弦定理得b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴bcosC＋ccosB＝2RsinBcosC＋2RsinCcosB＝2R(sinBcosC＋cosBsinC)＝2Rsin(B＋C)＝2RsinA＝a.即a＝bcosC＋ccosB同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）方法二(1)由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab，∴bcosC＋ccosB＝b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝a2＋b2－c22a＋a2＋c2－b22a＝2a22a＝a.∴a＝bcosC＋ccosB.同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）探究点三利用正、余弦定理解决三角形的有关问题问题利用正、余弦定理可以解决一些三角形问题:如面积、角、边等，你能根据已知条件选择合适的解决方法吗？探究在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝14b2.(1)当p＝54，b＝1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效解(1)由题设并由正弦定理，得a＋c＝54，ac＝14，解得a＝1，c＝14或a＝14，c＝1.探究在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝14b2.(1)当p＝54，b＝1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围．(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝p2b2－12b2－12b2cosB，即p2＝32＋12cosB.因为0cosB1，所以p2∈32，2，由题设知p0，所以62p2.填一填研一研练一练本讲栏目开关1.1.2（二）【典型例题】例1在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，已知(a＋b－c)(a－b＋c)＝bc，求A.解∵(a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋(b－c)]·[a－(b－c)]＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝bc.∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.∵0＜A＜π，∴A＝π3.小结余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）跟踪训练1已知△ABC的三边a、b、c，且△ABC的面积S＝c2－a2－b243，求C.解∵S＝12absinC，a2＋b2－c2＝2abcosC，∴12absinC＝－2abcosC43，∴3sinC＝－cosC.∴tanC＝－33.∵0＜C＜π，∴C＝56π.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）例2在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．解方法一∵AB＝23，AC＝2，B＝30°，∴根据正弦定理，有sinC＝AB·sinBAC＝32.由已知AB＞AC，所以C＞B，则C有两解，当C为锐角时，C＝60°，A＝90°.根据三角形面积公式，得S＝12AB·AC·sinA＝23.当C为钝角时，C＝120°，A＝30°.∴S＝12AB·AC·sinA＝12×23×2sin30°＝3.∴△ABC的面积是23或3.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）方法二设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，∴22＝a2＋(23)2－2a×23cos30°，即a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4.当a＝2时，S＝12acsinB＝12×2×23×sin30°＝3；当a＝4时，S＝23.∴△ABC的面积是23或3.小结本例是已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）跟踪训练2已知a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝53，求c的长度．解∵S＝12absinC＝12×4×5×sinC＝53，∴sinC＝32.∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝42＋52－2×4×5×cos60°＝21，∴c＝21.当C＝120°时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝42＋52－2×4×5×cos120°＝61，∴c＝61.∴c的长度为21或61.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）例3在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2B＋C2－cos2A＝72.(1)求A的度数．(2)若a＝3，b＋c＝3，求b和c的值．解(1)由4sin2B＋C2－cos2A＝72及A＋B＋C＝180°，得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝72，4(1＋cosA)－4cos2A＝5，即4cos2A－4cosA＋1＝0，∴(2cosA－1)2＝0，解得cosA＝12.∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）(2)由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc.∵cosA＝12，∴b2＋c2－a22bc＝12，化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，将a＝3，b＋c＝3代入上式，得bc＝2.则由b＋c＝3，bc＝2.解得b＝1，c＝2或b＝2，c＝1.小结本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A＋B＋C＝180°，求出A，并利用余弦定理列出关于b、c的方程组．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）跟踪训练3在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝2，cosB＝35.(1)若b＝4，求sinA的值；(2)若△ABC的面积为4，求b、c的值．解(1)∵cosB＝35，∴sinB＝45.由正弦定理asinA＝bsinB得sinA＝absinB＝25.(2)∵S△ABC＝12acsinB＝45c＝4，∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b＝17.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）1．在△ABC中，已知面积S＝14(a2＋b2－c2)，则角C的度数为()A．135°B．45°C．60°D．120°解析∵S＝14(a2＋b2－c2)＝12absinC，∴a2＋b2－c2＝2absinC，∴c2＝a2＋b2－2absinC.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴sinC＝cosC，∴C＝45°.B练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若c＝2，b＝2a，且cosC＝14，则a等于()A．2B．12C．1D．13解析由cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋4a2－222a×2a＝14，得a＝1.C练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）3．在△ABC中，cosB＝12，b2－ac＝0，则△ABC的形状为三角形．解析∵cosB＝12，∴B＝60°.∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，∴(a－c)2＝0.∴a＝c.∴△ABC为等边三角形．等边练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）4．在△ABC中，∠B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为．解析在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，即49＝BC2＋25－2×BC×5×(－12)，整理得BC2＋5BC－24＝0，解得BC＝3或BC＝－8(舍去)．S△ABC＝12·AB·BC·sin120°＝12×5×3×32＝1534.1534练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（二）1．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．2．余弦定