高三一轮总复习理科数学新课标第6章-第5节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第五节合情推理与演绎推理考纲传真1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由到整体、由到一般的推理．全部一般结论部分个别菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：类比推理是由特殊到的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．类似特征特殊类比菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．特殊菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．3n－1B．4n－3C．n2D．3n－1【解析】a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”．②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d.”③“若a，b∈R，则a－b0⇒ab”类比推出“若a，b∈C，则a－b0⇒ab”．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）其中类比得到的结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】根据复数的运算及复数相等的定义知①正确，③错误；根据实数相等的定义知，②正确．故选C.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝13x是指数函数(小前提)，所以函数y＝13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A．大前提错误导致结论错B．小前提错误导致结论错C．推理形式错误导致结论错D．大前提和小前提错误导致结论错菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的，因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．(2012·陕西高考)观察下列不等式：1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，…，照此规律，第五个．．．不等式为________．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】观察所给不等式可知第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162116.【答案】1＋122＋132＋142＋152＋162116菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1归纳推理【例1】(2013·陕西高考)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n个等式可为________．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】分析等式左右两侧各数及其符号特点，可归纳出第n个等式，最后利用等差数列的求和公式进行化简．【尝试解答】12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…，菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1nn＋12.【答案】12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1nn＋12菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题；2．归纳推理是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明，一般地，考察的个体越多，归纳的结论可靠性越大．因此在进行归纳推理时，要尽可能多地分析特殊情况，由此发现其中的规律，从而获得一般结论．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，且f1(x)＝f(x)＝xx＋2，当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))，则f3(x)＝________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】∵f1(x)＝xx＋2，fn(x)＝f(fn－1(x))(n≥2)，∴f2(x)＝fxx＋2＝xx＋2xx＋2＋2＝x3x＋4.f3(x)＝f(f2(x))＝fx3x＋4＝x3x＋4x3x＋4＋2＝x7x＋8.由所求等式知，分子都是x，分母中常数项为2n，x的系数比常数项少1，为2n－1，故fn(x)＝x2n－1x＋2n.【答案】x7x＋8x2n－1x＋2n菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2类比推理【例2】(2014·泉州模拟)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知，四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，四面体ABCD的体积为V，内切球半径为R，则R＝________.【思路点拨】平面中的边长与面积类比空间中的面积与体积，二维图形中的2类比三维图形中的3.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】三角形的面积类比四面体的体积，三角形的边长类比四面体四个面的面积，内切圆半径类比内切球的半径，二维图形中的12类比三维图形中的13，得R＝3VS1＋S2＋S3＋S4.【答案】R＝3VS1＋S2＋S3＋S4菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维的类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与积、乘与乘方，减与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2若{an}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：(m－n)ap＋(n－p)am＋(p－m)an＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{bn}，m，n，p是互不相等的正整数，有________．【解析】等差数列的三项之和类比等比数列的三项之积，等差数列中(m－n)ap类比等比数列中的bm－np，因此有bm－np·bn－pm·bp－mn＝1.【答案】bm－np·bn－pm·bp－mn＝1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3演绎推理【例3】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n∈N*)，证明：(1)数列Snn是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.【思路点拨】(1)利用an＋1＝Sn＋1－Sn消去an＋1；(2)根据Snn是等比数列得到Sn＋1与Sn－1的关系，再利用an＝n＋1n－1Sn－1证明．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.∴Sn＋1n＋1＝2·Snn，又S11＝1≠0，(小前提)故Snn是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)由(1)可知Sn＋1n＋1＝4·Sn－1n－1(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·Sn－1n－1＝4·n－1＋2n－1·Sn－1＝4an(n≥2)(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件),菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法3演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：如果集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练3已知函数y＝f(x)，满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)af(b)＋bf(a)，(1)试证明：f(x)为R上的单调增函数；(2)若x，y为正实数且4x＋9y＝4，比较f(x＋y)与f(6)的大小．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三