高三一轮总复习理科数学新课标第6章-第7节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第七节数学归纳法及其应用考纲传真1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．n＝k＋1第一个值n0(n0∈N*)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．数学归纳法的框图表示菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项()(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．4【解析】三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．(2014·佛山模拟)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到()A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】由条件知，等式的左边是从20,21，…一直到2n－1都是连续的，∴当n＝k＋1时，等式1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，且f(2)＝12＋13＋14，故选D.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．(2014·黄山模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝21n＋2＋1n＋4＋…＋12n时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立【解析】k为偶数，则k＋2为偶数，故选B.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1用数学归纳法证明等式【例1】设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．【思路点拨】(1)第一步验证n＝2时等式成立；(2)第二步，由n＝k成立，证明n＝k＋1成立时，要注意归纳假设的使用．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝21＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)fk＋1－1k＋1－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．2．由n＝k时命题成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．【证明】(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)．当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)·(2k＋2)＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1)＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)．这就是说当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)、(2)知，对n∈N*，原等式成立．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2用数学归纳法证明简单的不等式【例2】用数学归纳法证明对任意n∈N*，2＋12·4＋14·…·2n＋12nn＋1.【思路点拨】按数学归纳法的证明步骤进行证明【尝试解答】(1)当n＝1时，左式＝32，右式＝2，左式右式，所以结论成立．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k＋12kk＋1，则当n＝k＋1时，2＋12·4＋14·…·2k＋12k·2k＋32k＋1k＋1·2k＋32k＋1＝2k＋32k＋1，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k＋32k＋1≥k＋2，即证2k＋32≥k＋1k＋2，菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）由基本不等式知2k＋32＝k＋1＋k＋22≥k＋1k＋2成立，故2k＋32k＋1≥k＋2成立，所以，当n＝k＋1时，结论成立，由(1)(2)可知，n∈N*时，不等式2＋12·4＋14·…·2n＋12nn＋1.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n22－1n(n∈N*，n≥2)．【证明】(1)当n＝2时，1＋122＝542－12＝32，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k22－1k.当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋122－1k＋1k＋122－1k＋1kk＋1＝2－1k＋1k－1k＋1＝2－1k＋1命题成立．由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3归纳—猜想—证明【例3】已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝an2＋1an－1，且an0，n∈N*.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．【思路点拨】根据求出的前n项，总结出一般性的规律，然后利用数学归纳法证明．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)当n＝1时，由已知得a1＝a12＋1a1－1，a21＋2a1－2＝0.∴a1＝3－1(a1＞0)．当n＝2时，由已知得a1＋a2＝a22＋1a2－1，将a1＝3－1代入并整理得a22＋23a2－2＝0.∴a2＝5－3(a2＞0)．同理可得a3＝7－5.猜想an＝2n＋1－2n－1(n∈N*)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，即ak＝2k＋1－2k－1.由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak＋12＋1ak＋1－ak2－1ak，将ak＝2k＋1－2k－1代入上式并整理得a2k＋1＋22k＋1ak＋1－2＝0，解得：ak＋1＝2k＋3－2k＋1(an＞0)．即当n＝k＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n∈N*，an＝2n＋1－2n－1都成立．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法31.猜想{an}的通项公式应注意两点：(1)准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明ak＋1时，ak＋1的求解过程与a2、a3的求解过程相似，注意体会特殊与一般性的辨证关系．2．“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练3由下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．【解】一般结论：1＋12＋13＋…＋12n－1＞n2(n∈N*)，证明如下：(1)当n＝1时，由题设条件知命题成立．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)假设当n＝k(k∈N*)时，