高三一轮总复习理科数学新课标第7章-第3节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第三节空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理依据的公理和定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线．两点不共线有且只有一条菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）直线与直线直线与平面平面与平面相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角．(2)范围：0，π2.锐角或直角菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．平行公理平行于同一条直线的两条直线．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角．平行相等或互补菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面()【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)如图7－3－1所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°图7－3－1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．(2013·安徽高考)在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】A，不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，是平面的基本性质公理；C，是平面的基本性质公理；D，是平面的基本性质公理．【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【解析】若c∥b，∵c∥a，∴a∥b，与a，b异面矛盾．∴c，b不可能是平行直线．【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．6【解析】与AB平行、CC1相交的直线是CD，C1D1；与CC1平行，AB相交的直线是BB1，AA1；与AB，CC1都相交的直线是BC，故选C.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1平面的基本性质【例1】如图7－3－2所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊12AD，BE綊12FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？图7－3－2【思路点拨】(1)证明GH綊BC即可．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)法一证明D点在EF、CH确定的平面内．法二延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而FE与DC相交证得四点共面．【尝试解答】(1)由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊12AD.又BC綊12AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG是平行四边形．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)法一由BE綊12AF，G为FA中点知BE綊GF，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）法二如图所示，延长FE，DC分别与AB交于点M，M′，∵BE綊12AF，∴B为MA中点，∵BC綊12AD，∴B为M′A中点，∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)，∴C、D、F、E四点共面．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．2．证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1已知：空间四边形ABCD(如图7－3－3所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝13BC，CH＝13DC.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)三直线FH、EG、AC共点．图7－3－3菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【证明】(1)连接EF、GH，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD.又∵CG＝13BC，CH＝13DC，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，∴FH、EG、AC共点．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2空间两条直线的位置关系图7－3－4【例2】如图7－3－4所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断正确的是________．(填所有正确结论的序号)①MN与CC1垂直；②MN与AC垂直；③MN与BD平行；④MN与A1B1平行．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN∥B1D1.【尝试解答】连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD，故①②③正确．又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，因此④错误．【答案】①②③菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.对于异面直线，可采用直接法或反证法进行判定．2．对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断．3．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(只填序号)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确．【答案】①菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3异面直线所成的角图7－3－5【例3】(2012·四川高考改编)如图7－3－5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，试求异面直线A1M与DN所成的角的大小．【思路点拨】在△DNC中，利用三角形的中位线平移DN，从而得到异面直线A1M与DN所成的角或其补角．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK∥DN.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角．连接A1C1，AM，设正方体棱长为4，则A1K＝422＋32＝41，MK＝12DN＝1242＋22＝5，A1M＝42＋42＋22＝6，∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.故异面直线A1M与DN所成的角为90°.,菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法31.作异面直线所成的角常用平移法，平移法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成的角的三步曲为：“一作、二证、三求”．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．3．异面直线所成的角范围是0，π2.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练3直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F，则BA1∥DE，AC1∥EF.所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角)，