高三一轮总复习理科数学新课标第7章-第6节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第六节空间向量及其运算考纲传真1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有和的量叫做空间向量，其大小叫做向量的或．(2)相等向量：方向且模的向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线或，则这些向量叫做或，a平行于b记作a∥b.(4)共面向量：平行于同一的向量叫做共面向量大小方向长度模相同相等平行重合共线向量平行向量平面菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．p＝xa＋ybλbp＝xa＋yb＋zc菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·b共线a＝λb(b≠0)垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a21＋a22＋a23菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5.用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1)适当的选取基底{a，b，c}；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b()(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量()(4)若a·b0，则〈a，b〉是钝角()【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)已知空间四边形OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN→＝()A.12a－23b＋12cB．－23a＋12b＋12cC.12a＋12b－12cD.23a＋23b－12c菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】如图所示，MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝13OA→＋(OB→－OA→)＋12BC→＝OB→－23OA→＋12(OC→－OB→)＝12OB→－23OA→＋12OC→＝－23a＋12b＋12c.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，12B．－13，12C．－3,2D．2,2【解析】∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴6＝kλ＋1，2μ－1＝0，2λ＝2k，解得λ＝2，μ＝12，或λ＝－3，μ＝12.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．(2014·宝鸡模拟)已知四边形ABCD满足：AB→·BC→0，BC→·CD→0，CD→·DA→0，DA→·AB→0，则该四边形为()A．平行四边形B．梯形C．长方形D．空间四边形【解析】由题意知四边形ABCD的四个内角都是钝角，则该四边形一定不是平面图形，故选D.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．【解析】(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝42＋(－2)2＋(－4)2－[62＋(－3)2＋22]＝－13.【答案】－13菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1空间向量的线性运算【例1】三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.图7－6－1【思路点拨】结合图形，利用空间向量的加减法和数乘运算求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】MG→＝MA→＋AG→＝12OA→＋23AN→＝12OA→＋23(ON→－OA→)＝12OA→＋2312OB→＋OC→－OA→＝－16OA→＋13OB→＋13OC→.OG→＝OM→＋MG→＝12OA→－16OA→＋13OB→＋13OC→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．2．空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的，即把空间向量转化到某一个平面上，利用三角形法则或平行四边形法则来解决．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1如图7－6－2所示，ABCD－A1B1C1D1中，ABCD是平行四边形，若AE→＝12EC→，A1F→＝2FD→，AB→＝b，AD→＝c，AA1→＝a，试用a，b，c表示EF→.图7－6－2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解】如图，连接AF，则EF→＝EA→＋AF→.由已知ABCD是平行四边形，故AC→＝AB→＋AD→＝b＋c，A1D→＝A1A→＋AD→＝－a＋c.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）由已知，A1F→＝2FD→，∴AF→＝AD→＋DF→＝AD→－FD→＝AD→－13A1D→＝c－13(c－a)＝13(a＋2c)，又EA→＝－13AC→＝－13(b＋c)，∴EF→＝EA→＋AF→＝－13(b＋c)＋13(a＋2c)＝13(a－b＋c)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【例2】如图7－6－3所示，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→(0≤k≤1)．(1)向量MN→是否与向量AB→，AA1→共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？图7－6－3【思路点拨】(1)在图形中，用向量AB→，AA1→表示向量MN→.(2)用共面向量的概念判定MN是否与平面ABB1A1平行．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)∵AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→，∴MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝kC1A→＋AB→＋kBC→＝k(C1A→＋BC→)＋AB→＝k(C1A→＋B1C1→)＋AB→＝kB1A→＋AB→＝AB→－kAB1→＝AB→－k(AA1→＋AB→)＝(1－k)AB→－kAA1→，∴由共面向量定理知向量MN→与向量AB→，AA1→共面．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)当k＝0时，点M、A重合，点N、B重合，MN在平面ABB1A1内，当0＜k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知MN→与AB→、AA1→共面，所以MN∥平面ABB1A1.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法2应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA→＝λPB→MP→＝xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝xOA→＋(1－x)OB→对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋(1－x－y)OB→菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM→＝13(OA→＋OB→＋OC→)．(1)判断MA→、MB→、MC→三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解】(1)由已知OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)，即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，∴MA→，MB→，MC→共面．(2)由(1)知MA→，MB→，MC→共面且过同一点M，所以四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3空间向量的数量积及其应用【例3】如图7－6－4，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．图7－6－4【思路点拨】用AB→，AC→，CD→表示BD→，根据|BD→|＝BD→2求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】∵AB与CD成60°角，∴〈BA→，CD→〉＝60°或120°，又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，∴|BD→|＝BD→2＝BA→＋AC→＋CD→2＝BA→2＋AC→2＋CD→2＋2BA→·AC→＋2AC→·CD→＋2BA→·CD→＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos〈BA→，CD→〉＝3＋2cos〈BA→，CD→〉∴|BD→|＝2或2.∴BD的长为2或2.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法31.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题．(1)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；(2)|a|＝a2；(3)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.菜单高考体验·明考情课