高三一轮总复习理科数学新课标第7章-第7节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第七节立体几何中的向量方法考纲传真1.理解直线的方向向量及平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l或，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．平行重合菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3.利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则(2)求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝＝.l1与l2所成的角θa与b的夹角〈a，b〉范围0＜〈a，b〉＜π关系cosθ＝|cos〈a，b〉|＝cos〈a，b〉＝a·b|a||b|0θ≤|a·b||a||b||cos〈a，n〉||a·n||a||n|菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(3)求二面角的大小①若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB→与CD→的夹角(如图7－7－1①)．图7－7－1②设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是(如图7－7－1②③)．二面角的平面角的大小菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．利用空间向量求点面距离如图7－7－2，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO→|＝|AB→·n||n|.图7－7－2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行()(2)若两平面的法向量平行，则两平面平行()(3)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角()(4)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()【答案】(1)√(2)√(3)×(4)×菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝()A．3B．4C．5D．6【解析】∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交【解析】由n＝－2a知，n∥α，则有l⊥α，故选B.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．平面α的一个法向量为n＝(1，－3，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为()A.π6B.π3C.π4D.5π6【解析】y轴的一个方向向量为a＝(0,1,0)，则cos〈n，a〉＝n·a|n||a|＝－32×1＝－32.设y轴与平面α所成的角为θ，则sinθ＝32，所以θ＝π3.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．(2012·陕西高考)如图7－7－3所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()图7－7－3A.55B.53C.255D.35菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，∴BC1→＝(0,2，－1)，AB1→＝(－2,2,1)，∴cos〈BC1→，AB1→〉＝BC1→·AB1→|BC1→||AB1→|＝4－15×9＝15＝550.∴BC1→与AB1→的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为55.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1利用空间向量证明平行、垂直图7－7－4【例1】如图7－7－4所示，在四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】(1)建立空间直角坐标系，方法一：证明CM→与平面PAD的法向量垂直；方法二：证明CM→与平面PAD内两个不共线的向量共面．(2)取AP的中点E，利用向量证明BE⊥平面PAD即可菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4.∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(23，4,0)，P(0,0,2)，M32，0，32，∴DP→＝(0，－1,2)，DA→＝(23，3,0)，CM→＝32，0，32菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(1)法一令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则DP→·n＝0，DA→·n＝0，即－y＋2z＝0，23x＋3y＝0，∴z＝12y，x＝－32y，令y＝2，得n＝(－3，2,1)．∵n·CM→＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n⊥CM→，又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）法二∵PD→＝(0,1，－2)，PA→＝(23，4，－2)，令CM→＝xPD→＋yPA→，则32＝23y，0＝x＋4y，32＝－2x－2y，方程组有解为x＝－1，y＝14，∴CM→＝－PD→＋14PA→，由共面向量定理知CM→与PD→，PA→共面，又∵CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)取AP的中点E，则E(3，2,1)，BE→＝(－3，2,1)，∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵BE→·DA→＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，∴BE→⊥DA→，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A.∴BE⊥平面PAD，又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．2．证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．3．证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直、平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）图7－7－5变式训练1在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．(1)求证：CE∥平面C1E1F；(2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.【正解】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E11，12，2.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(1)设平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)．∵C1E1→＝1，－12，0，FC1→＝(－1,0,1)，∴n·C1E1→＝0，n·FC1→＝0，即x－12y＝0，－x＋z＝0.令x＝1，得n＝(1,2,1)．∵CE→＝(1，－1,1)，n·CE→＝1－2＋1＝0，∴CE→⊥n.又∵CE⊄平面C1E1F，∴CE∥平面C1E1F.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)，由EF→＝(0,1,0)，FC→＝(－1,0，－1)，∴m·EF→＝0，m·FC→＝0，即b＝0，－a－c＝0.令a＝－1，得m＝(－1,0,1)．∵m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，∴平面C1E1F⊥平面CEF菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2利用空间向量求线线角和线面角图7－7－6【例2】(2013·湖南高考)如图7－7－6，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路方法】(1)通过证明AC⊥平面BB1D来证明AC⊥B1D，也可建立空间直角坐标系用向量法证明线线垂直；(2)用向量法求直线与平面所成的角．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）图(1)【尝试解答】(1)法一如图(1)，因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D.而B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）图(2)法二易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图(2)，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0