第13讲+拉伸和压缩(三)

南京航空航天大学第七章拉伸和压缩张明江西九江长江大桥第一次7.17.27.57.6第二次7.77.87.9第三次7.117.137.16第四次7.177.207.21第五次7.237.25南京航空航天大学要点回顾•拉压杆横截面上的应力计算•强度计算的基本公式•许用应力与安全系数•斜截面上的应力•切应力互等定律南京航空航天大学§7.4拉(压)杆的变形与位移位移与应变应变的定义－线(正)应变与角(剪)应变应力与应变的关系－虎克定律横向应变－横向变形系数(泊松比)拉压杆件轴向伸长计算公式南京航空航天大学变形与应变变形体与刚体变形的定义及特点构件内任意两点间的位置发生了变化变形在弹性体内是连续的变形与刚性位移的区别对变形的定量描述－应变两种基本变形－长度变化及角度变化应变定义：线应变；剪应变(角应变)南京航空航天大学MM’xy0DxgDx+Ds应变的定义xsmDD南京航空航天大学正应变与剪应变平均应变线应变g?角应变直角的角度变化！xsmDDxsxDDD0lim正应变剪应变南京航空航天大学支架AB、AC杆有无剪应变？有无线应变？如何计算？原始尺寸原理ad1d2AA’A”a21costancosAAddaa??ABAC南京航空航天大学应力与应变的关系－虎克定律拉压杆的应力与应变成正比，比例系数称为弹性模量，用E表示•由于应变是无量纲的量，因而弹性模量与应力具有相同的量纲E南京航空航天大学关于弹性模量弹性模量是材料常数，与受力状态无关，但与温度等环境因素有关弹性模量的数值通常很大，所以用GPa作为单位，而不用MPa。1GPa=109Pa=109N/m2常用材料中，钢材的弹性模量最大，达210GPa。当合金含量不大时，各种合金钢的弹性模量也接近200~210GPa。南京航空航天大学横向变形杆件在发生轴向变形(称纵向变形)的同时，横向也会发生变形。轴向伸长时，横向会发生收缩变形；轴长缩短时，横向会发生伸长变形。实验证明：当轴向应变为时，则横向应变为-n。其中，n为材料常数，无量纲，其值在0.2~0.5之间。材料常数n称为泊松比。泊松比n有时也使用m表示南京航空航天大学几种常用材料的E和n的约值材料名称E(GPa)n碳钢196~2160.24~0.28合金钢186~2060.25~0.30灰铸铁78.5~1570.23~0.27铜及其合金72.6~1280.31~0.42铝合金700.33南京航空航天大学拉压杆件轴向伸长计算公式ANEllDEANllDDniiiiiAElNl1南京航空航天大学例7.7图示阶梯状钢直杆，AB段和BC段的横截面面积为AAB=ABC=500mm2，CD段的横截面面积为AAB=ABC=500mm2。已知钢的弹性模量E=200GPa。试求杆的纵向变形DL。南京航空航天大学例7.7解各段内力见图(b)DniiiiiAElNl169105001.020000102001669105001.010000105001.0200001020016669102001.010000105001.010000105001.020000102001m10156mm015.0南京航空航天大学例7.7解A、B、C、D四个截面的位移如何？位移和变形在概念上的区别如何？南京航空航天大学例7.8(a)图所示铰接杆系由两根钢杆1和2组成。各杆长均为L=2m，直径均为d=25mm。已知变形前a=30°，钢的弹性模量E=210GPa，载荷P=100kN。求A点的位移DA。(a)南京航空航天大学例7.8解先分析节点A的平衡，由对称性知21NN0coscos21PNNaaacos221PNN南京航空航天大学例7.8解1杆及2杆的伸长很容易求得acos221EAPLllDDEANllD南京航空航天大学例7.8解根据小变形原理，角a的变形对A点位移的影响不计。如图有acos1lADDa2cos2EAPLADacos21EAPLlD代入数值，解得mm3.1DA南京航空航天大学例7.9求等截面杆在自重作用下的横截面上的应力和杆的总伸长。设杆长L、横截面面积A、材料的容重g及弹性模量E均为已知。南京航空航天大学例7.9解x部分的总重量即是m-m截面的轴力gxAN应力为gxAN南京航空航天大学例7.9解dx微段的伸长为dxExEANdxldgDDLLdxExEANdxl00gEL22g南京航空航天大学题7.14一木柱受力如图，横截面为边长200mm的正方形，材料服从虎克定律，E=10GPa。不计自重，试：1)作轴力图；2)求横截面上的正应力，并作正应力随截面位置的变化图；3)求各处的纵向线应变，并作线应变随截面位置的变化图；4)求柱的总变形；5)绘出各横截面的纵向位移随截面位置的变化图。南京航空航天大学补充测得拉杆沿轴线方向的线应变为200m，垂直于轴线方向的应变为-58m，施加在拉杆上的载荷P=4.2kN。求材料的弹性模量E和泊松比n，截面面积A=0.0001m2。南京航空航天大学解测得拉杆沿轴线方向的线应变为200m，垂直于轴线方向的应变为-58m，施加在拉杆上的载荷P=4.2kN。求材料的弹性模量E和泊松比n，截面面积A=0.0001m2。ENAPA624.21000N200100.0001m9221010N/m210GPan582000.29南京航空航天大学§7.5拉(压)杆内的应变能拉力做的元功：dd()WPlD10d()lWPlDDPlDlPdPP1拉伸曲线PDldDl)Dl1拉力做的总功：Dl南京航空航天大学线弹性时轴向拉伸或压缩的应变能在线弹性条件下：lPWD21由于是静载荷，根据功能原理：lPWUD21PlDlPdPP1拉伸曲线PDldDl)Dl1Dl南京航空航天大学根据虎克定律：EAPllD可改写为：EAlPlPWU2212D线弹性时轴向拉压的应变能计算公式PdPP1拉伸曲线PDldDl)Dl1Dl南京航空航天大学线弹性时单位体积的应变能d1拉伸曲线d1dxdydz10dddddWxyz南京航空航天大学线弹性时单位体积的应变能由胡克定律u称为比能10dddddUxyz10ddV10dddUuV2u2u22EE22线弹性南京航空航天大学例7.10求杆系的应变能和外力所作的功南京航空航天大学例7.10解ACABUUU由对称性，UAB=UAC，所以EALNEALNU212122代入数值，得mN65U南京航空航天大学例7.10解外力所作的功为2AΔPW由例7.8，已得DA=1.3mm，代入数值，得mN65W事实上，我们通常由功能原理W=U求载荷作用点沿载荷作用方向上的位移DA南京航空航天大学例7.11三根圆截面杆，其材料、支承情况、载荷P及长度L均相同，但直径及其变化不同。试比较三杆的应变能。自重不计。南京航空航天大学例7.11解三根圆截面杆，其材料、支承情况、载荷P及长度L均相同，但直径及其变化不同。试比较三杆的应变能。自重不计。22NlUEA对等截面直杆niiiiiAElNU122对分段等截面直杆22222πaNlPlUEAEd222322143422π42π24ibiiNlPLPLUEAEdEdaU167acUU3211344.0:438.0:13211:167:1::cbaUUU南京航空航天大学例7.12重为P的重物从高处自由落下，在与AB杆下端的盘B碰撞后不发生回跳(设为弹性碰撞)。已知自由落距为h，杆长为L，盘及杆重均可不计。试求杆的最大伸长及其横截面上的最大拉应力。南京航空航天大学例7.12解设杆伸长为Dd，则从h高下落到最低点时的势能为dΔhPW该势能全部转换成(b)图的应变能，应为EAlPUd22动载荷Pd假设为KdP，则由机械能守恒jdddPΔKEAlPKΔhP222212南京航空航天大学例7.12解在线弹性范围时，Dd=KdDj，所以jdjdPΔKΔKhP2210222jddΔhKK即解得jdΔhK211式中Kd称为动荷系数，本书称其为冲击系数注意书上P106页该公式的错误南京航空航天大学例7.12解垂直下落冲击问题解题步骤1.求静变形Dj2.求动荷系数Kd3.计算动载荷、动应力、动位移或动变形jdΔhK211PKPddjddKjddΔKΔ南京航空航天大学题7.19直径d=0.3m，长为6m的木桩，其下端固定。如在桩顶面高1m处有一重量为W=5kN的重锤自由落下，求桩内最大压应力。已知木材的弹性模量E=10GPa。如果重锤骤然放在桩顶上，则桩内最大压应力又为多少？