3.1圆的对称性

3.1圆的对称性(1)-----垂径定理浞景学校张呈玲学习目标：•理解圆的轴对称性及其相关性质；•理解垂径定理；•会运用垂径定理解决有关问题。重点、难点：垂径定理及其应用。预习案的交流与展示：知识准备：什么是轴对称图形？我们曾经学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形等。•圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).●O经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).AB⌒以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”.AB⌒小于半圆的弧叫做劣弧,如记作(用两个字母).⌒ADB大于半圆的弧叫做优弧,如记作(用三个字母).ABCD圆的相关概念1、圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？你是用什么方法找到对称轴的?自主学习：•圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.利用折叠的方法即可解决上述问题.●O2、按下面的步骤做一做：1）拿出一张圆形纸片，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2）得到一条折痕CD．3）在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．4）将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？它们为什么相等呢？自主学习：•如图,小明的理由是:•连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.自主学习：能不能试着利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.∵CD⊥AB于M证明：自主学习：能不能试着利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？探究一：垂径定理的三种语言定理垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.条件①一条直径②垂直于弦③直径平分弦④平分弦所对的劣弧结论⑤平分弦所对的优弧EOABDCEABCDEOABDCOBAEEOABCEOCDAB在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧？同步训练：探究二：垂径定理的应用例１：如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C、D，且AC=BD。求证：OA＝OB。例2：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。E.ABO探究二：垂径定理的应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点o是的圆心)，其中CD=600m,E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m,求这段弯路的半径。CDEFOCD⌒CD⌒CD⌒实际应用挑战自我：如图，P为⊙O内一点，你能用尺规作⊙O的一条弦AB，使点P恰为AB的中点吗？说明你的理由。你说、我说、大家说：A、AC=ADB、BC=BDC、AM=OMD、CM=DM⌒⌒⌒⌒1.在⊙O中，若CD⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（）2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD=.3.在⊙O中，CD⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是.C813●OCDABM└当堂达标：赵州石拱桥•1400多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.02m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).船能过拱桥吗如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？课后提升：