3.1导数的定义

科学出版社导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。重点导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式四则运算法则复合函数求导的链式法则高阶导数隐函数和参量函数求导难点导数的实质，用定义求导，链式法则科学出版社基本要求①准确叙述导数定义并深刻理解它的实质②会用定义求导数③熟记求导基本公式④牢固掌握链式法则⑤掌握隐函数和参量函数求导法⑥理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法⑦弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用一阶微分的形式不变性科学出版社§3.1导数的概念导数的几何意义4函数可导与连续的关系5科学出版社一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为0t则到的平均速度为v)()(0tftf0tt而在时刻的瞬时速度为lim0ttv)()(0tftf0tt221tgsso)(0tf)(tft自由落体运动导数概念的引入科学出版社割线的极限位置——切线位置播放2.切线问题科学出版社)(xfyC曲线的切线斜率曲线NT0xM在M点处的切线x割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率tan)()(0xfxf0xx切线MT的斜率tanlimlim0xxk)()(0xfxf0xx科学出版社)(0tf)(tft瞬时速度切线斜率xyo)(xfyCNT0xMx科学出版社两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题科学出版社设函数)(xfy在的邻域),(U0x内有定义，当00(,),xxUx0x时,有函数增量00()(),yfxxfx如果0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则称函数0x在)(xfy0x可导,在)(xfy0x处的导数,记作函数;0xxy;)(0xf;dd0xxxy0d)(dxxxxf科学出版社注:1）若0lim,xyx处的导数为在也说函数)(xfy0x2）)('0xf在就是函数)(xfy0x处的变化率。它反映在)(xfy0x处随自变量了函数x的变化快慢程度。3）导数定义的几种等价形式。xxfxxfxfx)()(lim)(0000xxfxxfxfx)()(lim)(0000无穷大。000)()(lim)('0xxxfxfxfxxxfxffx)0()(lim)0('0hxfhxfxfh)()(lim)('0000(式中h的只要是无穷小即可)科学出版社★.)(,)(内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数IxfIxfy★.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或记作的导函数这个函数叫做原来函数导数值的一个确定的都对应着对于任一xxfxxfyx)()(lim0即.)()(lim)(0hxfhxfxfh或科学出版社注意:.)()(.100xxxfxf2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.播放科学出版社存在，求已知hxfhxfh)()3(lim000解hxfhxfh)()3(lim000hxfhxfh3)()3(lim)3(000)('30xf例1)('0xf解原式=xxeefefxxxxtan11)0()]1(0[lim2220)0('1)0()]1(0[lim22022fxxefefxxx例2设20(1)lim.tanxxfexx求(0)0f'(0)f存在，科学出版社则令,0hxt原式是否可按下述方法作:例3.证明函数在x=0不可导.证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在,例4.设存在,求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解:原式0limh)(0xfhhxf2)(0)(0xf)(210xf)(210xf)(0xf)(2)(0hhxf)(0xf科学出版社()fx1x连续，且1()lim2,1xfxx)1(f解1111()()(1)lim()lim(1)lim(1)lim011xxxxfxfxffxxxxx1()(1)(1)lim1xfxffx1()lim21xfxx科学出版社左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx2.右导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx★函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.科学出版社★如果)(xf在开区间ba,内可导，且)(af及)(bf都存在，就说)(xf在闭区间ba,上可导.★.,),(),()(000可导性的讨论在点设函数xxxxxxxxfxxfxxfx)()(lim000若xxxxx)()(lim000,)(0存在xf科学出版社)()(lim000若xxxxx)()(lim000,)(0存在xf,)()(00axfxf且则)(xf在点0x可导，.)(0axf且科学出版社★由定义求导数（三步法）步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限例6求函数(C为常数)的导数.解:y即xxfxxf)()(0limx科学出版社求函数解:axafxf)()(axlimaxaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na说明：对一般幂函数xy(为常数)1)(xx（以后将证明）科学出版社例如，)(x)(21x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x科学出版社)sin(lim0例8求函数的导数.解:则hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx)2cos(lim0hxhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cos科学出版社)1,0()(的导数求函数aaaxfx解haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0.lnaax.ln)(aaaxx即.)(xxee科学出版社求函数的导数.解:hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0即xx1)(ln0limhh1x1x0limhelnxhhh1lim0或科学出版社)1,0(log的导数求函数aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0.log1)(logexxaa即.1)(lnxxxxhxhah1)1(loglim0hxahxhx)1(loglim10.log1exa科学出版社)(xfyCT0xM曲线在点的切线斜率为)(tan0xf若曲线过上升;若曲线过下降;xyo0x),(00yx若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.xyo0x科学出版社曲线在点处的切线方程:法线方程:)0)((0xf时当0)(0xf)(0xfy0xx时当)(0xf0xx)(0xfy切线方程:法线方程:科学出版社)2,21(1方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线xy例12解由导数的几何意义,得切线斜率为21xyk21)1(xx2121xx.4所求切线方程为),21(42xy.044yx即法线方程为),21(412xy.01582yx即科学出版社物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度..lim)(0dtdststvt交流电路:电量对时间的导数为电流强度..lim)(0dtdqtqtit非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.科学出版社可导与连续的关系证,)(0可导在点设函数xxf)(lim00xfxyx)(0xfxy)0(0xxxxfy)(0])([limlim000xxxfyxx0.)(0连续在点函数xxf定理3.2若函数)(xfy在点0x处可导，则必在点0x处连续。科学出版社注意:该定理的逆定理不成立.★连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(.1000函数在角点不可导的角点为函数则称点若连续函数xfxxfxfxfxy2xy0xy例如,,0,0,)(2xxxxxf.)(0,0的角点为处不可导在xfxx科学出版社)(.)(,)()(limlim,)(.2000000不可导有无穷导数在点称函数但连续在点设函数xxfxxfxxfxyxxfxx例如,,1)(3xxf.1处不可导在x31xyxy01科学出版社)()(.30点不可导则指摆动不定不存在在连续点的左右导数都函数xxf例如,,0,00,1sin)(xxxxxf.0处不可导在x011/π－1/πxy科学出版社)()(,,)(.4000不可导点的尖点为函数则称点符号相反的两个单侧导数且在点若xfxxxfxyoxy0xo)(xfy)(xfy科学出版社