3.1导数的概念及运算

第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算-2-导数是高中数学的重要内容,是近年来高考的热点之一.高考中对本节知识的考查主要是考查导数的概念及其运算法则,对导数概念的考查要求了解其实际背景,掌握函数在某一点处的导数定义、几何意义以及基本初等函数的求导法则.导数的几何意义是高考重点考查内容,常与解析几何知识交汇命题.-3-1.平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为.2.导数的概念一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是𝐥𝐢𝐦𝚫𝒙→𝟎𝚫𝒚𝚫𝒙=,称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|𝒙=𝒙𝟎.𝑓(𝑥2)-f(𝑥1)𝑥2-𝑥1Δ𝑦Δ𝑥limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥3.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.相应地,切线方程为.4.导函数如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的,则称f(x)在区间(a,b)内可导.这样,对开区间(a,b)内每一个值x,都对应一个确定的导数f'(x).于是在区间(a,b)内构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数,记为f'(x)或y'.y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)f'(x)5.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=C(C为常数)f'(x)=f(x)=xn(n∈N+)f'(x)=,n为正整数f(x)=xμ(x0,μ≠0且μ∈Q)f'(x)=,μ为有理数f(x)=sinxf'(x)=f(x)=cosxf'(x)=f(x)=ax(a0,a≠1)f'(x)=f(x)=exf'(x)=f(x)=logax(a0,a≠1,x0)f'(x)=f(x)=lnxf'(x)=6.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=;(2)[f(x)·g(x)]'=;(3)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)'=(g(x)≠0).7.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=,即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)𝑓'(𝑥)𝑔(𝑥)-𝑓(𝑥)𝑔'(𝑥)[𝑔(𝑥)]2y'u·u'xy对uu对x1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(2)f'(x0)是导函数f'(x)在x=x0处的函数值.(3)对于函数f(x)=-x2+3x,由于f(1)=2,所以f'(1)=2'=0.(4)物体的运动方程是s=-4t2+16t,则该物体在t=0时刻的瞬时速度是0.(5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.(6)函数f(x)=x2lnx的导函数为f'(x)=2x·𝟏𝒙=2(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×2.若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则𝚫𝒚𝚫𝒙等于()A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2(Δx)2C3.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=𝟏𝟑t3-𝟑𝟐t2+2t,那么速度为零的时刻是()A.0秒B.1秒末C.2秒末D.1秒末和2秒末D4.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于()A.-1B.-2C.2D.0B5.下列函数求导运算正确的个数是()①(3x)'=3xlog3e;②(log2x)'=𝟏𝒙𝐥𝐧𝟐;③(e-x)'=-e-x;④𝟏𝐥𝐧𝒙'=x;⑤(x·ex)'=ex+1;⑥[xsin(2x+5)]'=2xsin(2x+5).A.1B.2C.3D.4B6.曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为.y=3x+1自测后小结：1.f'(x0)与(f(x0))'的区别是什么？2.理解字面意思“曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线”3.复合函数的导数,要正确分解函数的结构,由外向内逐层求导.考点一导数的定义及其应用1.已知f'(2)=2,f(2)=3,则lim𝑥→2𝑓(𝑥)-3𝑥-2+1的值为A.1B.2C.3D.4√2.设f(x)为可导函数,且满足lim𝑥→0𝑓(1)-𝑓(1-2𝑥)2𝑥=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为A.2B.-1C.1D.-2√4.利用导数定义求函数f(x)＝x在x＝1处的导数．3.设f(x)是可导函数，000()()lim2,2xfxfxxx则/0()fx______导数的定义小结1.定义：2.用定义求导数的步骤：考点二导数的运算求下列函数的导数:(1)y=1𝑥+x3(2)y=x2cosx(3)y=ln𝑥𝑥2(4)y=ln⁡(2𝑥+1)考点二导数的运算求下列函数的导数:(1)y=1𝑥+x3(2)y=x2cosx(3)y=ln𝑥𝑥2(4)y=ln⁡(2𝑥+1)考点二导数的运算求下列函数的导数:(1)y=1𝑥+x3(2)y=x2cosx(3)y=ln𝑥𝑥2(4)y=ln⁡(2𝑥+1)导数运算小结：1.牢记导数公式和导数的四则运算法则；2.求导前将函数先化简,然后求导；3.复合函数求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.�对点练习1�(2014江西南昌模拟)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f'(1)等于()A.1B.2C.eD.e+1B�对点练习2�求下列函数的导数:(1)y=x-sin𝒙𝟐cos𝒙𝟐;(2)y=excosx.解:(1)∵y=x-𝟏𝟐sinx,∴y'=1-𝟏𝟐cosx.(2)y'=(ex)'cosx+ex(cosx)'=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx).考点三导数的几何意义类型一求切线方程(2014广东,理10)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.类型二求切点坐标(2014江西,理13)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.类型三求参数的值(2014江苏,11)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+𝒃𝒙(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.5x+y-3=0(-ln2,2)-3导数几何意义方法小结：(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f'(x0);(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k;(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=𝒇(𝒙𝟏)-𝐟(𝒙𝟎)𝒙𝟏-𝒙𝟎求解.�对点练习1�曲线y=3lnx+x+2在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则点P0的坐标是A.(0,1)B.(1,-1)C.(1,3)D.(1,0)√对点练习2(2014课标全国Ⅱ,理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3√对点练习3曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为.2x-y+1=0-22-考点四：求切线方程1.已知曲线31433yx（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2）求曲线过点P(2,4)处的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程.2.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+𝟏𝟓𝟒x-9都相切,则a等于()A.-1或-𝟐𝟓𝟔𝟒B.-1或𝟐𝟏𝟒C.-𝟕𝟒或-𝟐𝟓𝟔𝟒D.-𝟕𝟒或7-23-小结此类题：�对点练习�若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值是()A.1B.𝟏𝟔𝟒C.1或𝟏𝟔𝟒D.1或-𝟏𝟔𝟒C