圆锥曲线中的面积问题

圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设P为椭圆222210xyabab上一点，且12FPF，则122tan2PFFSb（2）双曲线：设P为椭圆22221,0xyabab上一点，且12FPF，则122cot2PFFSb二、典型例题：例1：设12,FF为椭圆2214xy的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,PQ两点，当四边形12PFQF的面积最大时，12PFPF的值等于___________例2：已知点P是椭圆2216251600xy上的一点，且在x轴上方，12,FF分别为椭圆的左右焦点，直线2PF的斜率为43，则12PFF△的面积是（）A.323B.243C.322D.242例3：已知F为抛物线2yx的焦点，点,AB在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OAOB，则ABO△与AFO△面积之和的最小值是（）A.2B.3C.1728D.10例4：抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AFK△的面积是（）A.4B.33C.43D.8例5：以椭圆22195xy的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左右焦点分别为12,FF，已知点M的坐标为2,1，双曲线C上点0000,0,0Pxyxy满足11211121PFMFFFMFPFFF，则12PMFPMFSS△△等于（）A.2B.4C.1D.1例6：已知点P为双曲线222210,0xyabab右支上一点，12,FF分别是双曲线的左右焦点，且212bFFa，I为三角形12PFF的内心，若1212IPFIPFIFFSSS△△△成立，则的值为（）A.1222B.231C.21D.21例7：已知点0,2A，椭圆2222:10xyEabab的ca为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点（1）求E的方程（2）设过点A的动直线l与E相交于,PQ两点，当OPQ面积最大时，求l的方程例8：已知椭圆2222:10xyCabab的ca为12，过右焦点F的直线l与C相交于,AB两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为22（1）求椭圆C的方程（2）若,,,PQMN是椭圆C上的四点，已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且0PFMF，求四边形PMQN面积的最小值例9：在平面直角坐标系xOy中，已知点1,1A，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足OPOAPAkkk（1）求点P的轨迹方程（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且PQOA，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得PQA和PAM的面积满足2PQMPAMSS？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。例10：设抛物线22yx的焦点为F，过点3,0M的直线与抛物线相交于,AB两点，与抛物线的准线相交于,2CBF，则BCF与ACF的面积之比BCFACFSS（）A.45B.23C.47D.12