车辆随机振动(下)

•频域的作用初探：•所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换（和其他变换）的地方。•从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。如：sin（3x）+sin（5x）的曲线图，现在需要你把sin（5x）从图里拿出去，看看剩下的是什么。时域这基本是不可能做到的。但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。•求解微分方程。傅里叶变换（和其他变换）则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法。第5章随机振动的频率特性一、什么是频域以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。第5章随机振动的频率特性一、什么是频域用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，这个静止的世界就叫做频域。将以上两图简化：时域：频域：你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。•傅里叶公式---任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。•在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。•而贯穿时域与频域的方法之一，就是傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（FourierSerie）和傅里叶变换(FourierTransformation)。•二、傅里叶级数(FourierSeries)的频谱•用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？•随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形。•随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。•但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。••不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。•一个复杂的信号可以分解成不同频率的正弦信号，反之亦然。在信号研究和处理中采用分解过程比合成更多一些。•一个复杂的振动信号，可以看成是由许多简谐分量叠加而成；那许多简谐分量及其各自的振幅、频率和初相，就叫做那复杂振动的频谱。把第一个频率最低的频率分量看作“1”，基频。信号的合成和分解狄利克莱（Dirichlet)条件•不是所有的信号都可以分解（哪怕无限多个）简谐振动。数学上确立了确切的条件，•狄利克莱（Dirichlet)条件，任意一个区段内，1)信号f(t)除有限个间断点外都连续，2)仅有有限个极大和极小值。•这是傅里叶级数展开的充分必要条件。能分解的振动曲线不能分解的振动曲线•时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。将时间差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。频谱的表示•讨论周期函数（设自变量是时间t）的付立叶展开。所谓周期函数，就是满足下列条件的函数：n=0，士1，士2，……T是常量，单位为秒，是物理量u的振动（视）周期。周期函数是无始无终的，它的变化情况，可以用一个周期内的变化情况来完全地反映。•付立叶分析理论，满足狄利克莱条件的任意周期函数，都可以展成付立叶级数，也就是展成许多谐振动函数的和。)()(nTtutu谐振动函数表示•同一个谐振动，可以用形式不同的函数来表示。式中A、ω和α分别是振幅、圆频率和初相位。如果按三角学公式将上式展开，又可以写成其中是两个常量。上式实际上是两个初相为零的谐振动的叠加，a、b是它们的振幅。)cos()(1tAtutbtattAtusincossinsincoscos)(1sincosAbAa谐振动函数欧拉表示•如果引用复数，用欧拉（Euler）公式得到tjtjeCeCtu)(1)(21)(21)(21)(21jbajbaCjbajbaC式中为振动函数u1(t)的基频，基频的倍数nω称泛频T2•欧拉式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。•欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。•一个复杂信号u（t）的傅立叶级数也有三种表示方法，三种开展式且完全等效。注意系数Cn一般是复数00()cos()cos()sin()()nnnnnnjntnnutAntantbntCetdtntuaTTncos)(2222sin)(TTntdtntub22nnnbaA/2/21()2TjntnnnTajbcxtedtT傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。周期信号只有在基频的整数倍处才存在Cn频谱的图示•周期函数的分立谱(离散谱)注意：图中横坐标是用基频的整数倍表示。/2/2/2/222111sinsin2TjntjntnTjnjncEedtEedtTTeeEnEnETjnnnT频谱分析•当010122,,sin,333122,,666EEEccTTTTEcTT•当幅值为零时•第一次幅值为零时•当谱线加密，成为连续谱。sin0nEncnTnnT22,,nTTnnTT,Tn•5.2傅里叶变换及其性质•5.2.1傅里叶变换的引入•傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号（傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换）•当信号周期无限大时，基频变得无限小，离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……•5.2傅里叶变换及其性质•5.2.1傅里叶变换原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。•5.2.2傅立叶变换•傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱）,可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。•离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;•。。。。。。。。。。。。2222jjjj01limd1limd2TnnTTnnTntTTntTnnftfeeTfee22jj0d1lim2TnTnnTnTtTnnnFfeftFe令22nTTiiTnTTFfedfedF12itftFed由定积分定义（注：积分限对称）.FourierftFftF：一一对应，称为一组变换对。称为原像函数，称为像函数。11,,ftFFftFftftF若则；若则FFFF上面两式分别为傅立叶变换和傅立叶逆变换。12iitftfeded即在频谱分析中,傅氏变换F()又称为f(t)的频谱函数,而它的模|F()|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱).由于是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数f(t)作傅氏变换,就是求这个时间函数f(t)的频谱.FftF的频谱密度函数；argftF的振幅频谱；ft的相位频谱。5.2.3傅立叶变换的基本性质•对称性和叠加性•奇偶虚实性•尺度变换特性•时移特性和频移特性•微分和积分特性•卷积一、对称性•若已知•则deFtftj)(21)(,)(21)(deFtftjdtetFftj)(21)()(2)(ftFFT证明：)()(tfFTF)(2)(ftFFT若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子)(2)(t111)(wf)(tF)(Fttatetf)(FTjaF1)(?1)(1jtaFTF对称性aefF2)(2)(1t换成0,1ta换成t二、线性（叠加性）若则)()(iiFtfFTniiiniiiFatfaFT11)()(三、奇偶虚实性无论f(t)是实函数还是复函数，下面均成立)()]([FtfFT)()]([FtfFT时域反摺频域也反摺实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数)()(tetft222)(F0)(f(t))(F0t0四、尺度变换特性•若•则)()]([FtfFT)(1)]([aFaatfFT)(1)()]([01aFadxexfatfFTaaxja)(1)(1)]([0aFadxexfaatfFTaaxj时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）f(t/2)0t)2(2F20)2(tf04/4/t)2(21F244压缩扩展110五、时移特性若则证明：)()()()(000)(0FedxexfedxexfxfFTttxtjxjtjtxj00()()jtFTftteF)()(FtfFT0)()(0tjeFttfFT带有尺度变换的时移特性atjeaFatatfFT0)(1)(0)(1)(1/)()(10)()]([000)(0/)(000aFeadxexfeaatxtdxexfatatxadtetatftatfFTatjtjatjatxjtja若a0,则有绝对值例：求三脉冲信号的频谱单矩形脉冲的频谱为有如下三脉冲信号其频谱为)(0tf0()()2FESinc)()()()(000TtfTtftftf00()()(1)()(12cos)()(12cos)2jTjTFFeeFTESincT六、频移特性•若•则•证明•同理)()(FtfFT)(])([00FetfFTtj)()(])([000FdteetfetfFTtjtjtj)(])([00FetfFTtj调幅信号的频谱（载波技术）)(21cos000tjtjeet)]()([21]cos)([000FFttfFT)(21sin000tjtjeejt)]()([21]sin)([000FFjttfFT求：ttf0cos)(的频谱？)(21cos000tjtjeet)(tftje021)(tftje021)(210F)(210F)]()([2100FF载波频率0]cos)([0ttfFT)]()([210000FF)()]([0FtfFT])[(2100tjtjeetf0)(0F)(021F)(F00频移特性)(021F调幅信号都可看成乘积信号•矩形调幅•指数衰减振荡•三角调幅ttf0cos)(ttG0cos)(teat0