高等数学二重积分的计算PPT

*三、二重积分的换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X–型区域则)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y–型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcyd则机动目录上页下页返回结束当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于机动目录上页下页返回结束oxy说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2)若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域,321DDDD则机动目录上页下页返回结束xy211xyo221dy例1.计算,dDyxI其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.x解法1.将D看作X–型区域,则:DI21dxyyxd21dx2121321dxxx891221xyx解法2.将D看作Y–型区域,则:DIxyxd21dyyyx222121321d2yyy89y1xy2xy121x2xy21y机动目录上页下页返回结束例2.计算,dDyx其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,:DxyxdDyxd21dy212221d2yyxyy2152d])2([21yyyyDxy22xy214oyxy22yxy21y2y2y及直线则机动目录上页下页返回结束例3.计算,ddsinDyxxx其中D是直线所围成的闭区域.oxyDxxy解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx20dsinxxx先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束例4.交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解:积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822yx2D22yxo21D221xy222280:22xxyD21DDD将:D视为Y–型区域,则282yxy20yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy机动目录上页下页返回结束例5.计算其中D由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224机动目录上页下页返回结束xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积k),,2,1(nkk在k),,(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线=常数,分划区域D为krkrkkkr机动目录上页下页返回结束kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrd机动目录上页下页返回结束Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d特别,对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD机动目录上页下页返回结束若f≡1则可求得D的面积d)(21202Dd思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:;0)1()(rDoyx)(rDoyx问的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动目录上页下页返回结束例6.计算其中.:222ayxD解:在极坐标系下,200:arD原式Drerard02)1(2ae2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角ddrr20d由于故坐标计算.机动目录上页下页返回结束注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex事实上,当D为R2时,利用例6的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束例7.求球体被圆柱面xayx222所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVDcos2022d4arrra)322(3323aoxyza2机动目录上页下页返回结束baxxfd)())((txtttfd)()]([定积分换元法*三、二重积分换元法),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足上在Dvuyvux),(,),()1(一阶导数连续;雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3)变换DDT:则Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf)),(),,((定理:,),(上连续在闭域设Dyxf变换:是一一对应的,vuvuJdd),(ovuDoyxDT机动目录上页下页返回结束oyxDovuD证:根据定理条件可知变换T可逆.用平行于坐标轴的,坐标面上在vou直线分割区域,D任取其中一个小矩T形,其顶点为),,(,),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhuvkv通过变换T,在xoy面上得到一个四边形,其对应顶点为)4,3,2,1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh令则12xx),(),(vuxvhux).,(,),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux机动目录上页下页返回结束14xx),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy)(),(ohvuuy同理得14yy)(),(okvuvy当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(机动目录上页下页返回结束vuvuJdd),(d因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf)),(),,((vuvuJdd),(例如,直角坐标转化为极坐标时,sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(机动目录上页下页返回结束例8.计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.解:令,,xyvxyu则2,2uvyuvx),(),(vuyxJvuevuDdd211ee2yxDxoy2121212121xyxye,ddyx)(DDD2vvuvuuov机动目录上页下页返回结束ybx2yax2Doyxxqy2xpy2,,22yxvxyu例9.计算由所围成的闭区域D的面积S.解:令Duvopqab则bvaqupD:D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd))((31abpq机动目录上页下页返回结束例10.试计算椭球体解:yxcDbyaxdd122222由对称性,1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax则D的原象为20,1:rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraaDcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的体积V.机动目录上页下页返回结束内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:•若积分区域为则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf•若积分区域为则xy)(1yxxDdc)(2yxx)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyyxybaD机动目录上页下页返回结束DDrrfyxf)sin,cos(d),(则(2)一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(0),(),(vuyxJ且则DDvuvuyvuxfyxfdd)],(),,([d),(J极坐标系情形:若积分区域为ddrrDo)(1r)(2r在变换下机动目录上页下页返回结束(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设且求.d)()(d110yyfxfxIx提示:交换积分顺序后,x,y互换oyx1xy1yxIxyfxfyd)()(010dy10dxI2yyfxfxxd)()(d11010dx10dxyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A机动目录上页下页返回结束2.交换积分顺序ararccoscosaroxa提示:积分域如图rrar0dararccosararccosId),(rf机动目录上页下页返回结束作业P951(2),(4);2(3),(4);5;6(2),(4);11(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);15(1),(4);*19(1);*20(2)第三节目录上页下页返回结束axy2解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax备用题1.给定改变积分的次序.ay0dayx22a2a2aoxy机动目录上页下页返回结束3261sin4ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203yx2.计算其中D为由圆所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203xy