高等数学第15章第2节以2l为周期的函数的展开式

§2以l2为周期的函数的展开式在上节提到的收敛定理中，我们假设函数f是以2为周期的，或是定义在],(上然后作以2为周期延拓的函数．本节讨论以l2为周期的函数的傅里叶级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级数展开式．一以l2为周期的函数的傅里叶级数设f是以l2为周期的函数,通过变量置换tlx或ltx可以把f变换成以2为周期的t的函数)()(ltftF．若f在],[ll上可积，则F在],[上也可积，这时函数F的傅里叶级数展开式是：10)sincos(2~)(nnnntbntaatF,(1)其中.,2,1,0,sin)(1,2,1,0,cos)(1nntdttFbnntdttFann(2)因为lxt,所以)()()(xfltftF．于是由(1)与(2)是分别得10)sincos(2~)(nnnlxnblxnaatF(3)与,2,1,sin)(1,,2,1,0,cos)(1ndxlxnxflbndxlxnxflallnlln(4)这里(4)式是以l2为周期的函数f的傅里叶系数，(3)式是f的傅里叶级数．若函数f在],[ll上按段光滑,则同样可由收敛定理知道.)sincos(22)0()0(00nnnlxnblxnaaxfxf(5)例1把函数50,305,0)(xxxf展开成傅里叶级数．解由于f在(-5,5)上按段光滑，因此可以展开成傅里叶级数．根据(4)式，有.,,k,kn,,,,k,kn,)k(n)ncos(]xncosn[dxxnsinb,dxdx)x(fa,,,n,xnsinndxxncosdxxncosann212021121261305555353513351512100555535351505150505505005代入(5)式,得).55sin5153sin315(sin6235)12(sin)12(623)(1xxxxkkxfn这里)5,0()0,5(x．当0x和5时级数收敛于23．□二偶函数与奇函数的傅里叶级数设f是以l2为周期的偶函数,或是定义在],[ll上的偶函数,则在],[ll上,nxxfcos)(是偶函数,函数nxxfsin)(是奇.因此，f的傅里叶系数(4)是.,2,1,0sin)(1,,2,1,0,cos)(2cos)(10ndxlxnxflbndxlxnxfldxlxnxflallnllln（6）于是f的傅里叶级数只含有余弦函数的项,即10cos2~)(nnlxnaaxf，（7）其中na如(6)式所示,(7)式右边的级数称为余弦级数．同理,若f是以l2为周期的奇函数,或是定义在],[ll上的奇函数,则可以推得.,2,1,0sin)(2,,2,1,0,0cos)(10ndxlxnxflbndxlxnxflalnlln（8）所以当f为奇函数时,它的傅里叶级数只含有正弦函数的项,即,sin~)(1nnlxnbxf（9）其中nb如(8)式所示.(9)式右边的级数称为正弦级数．若l,则偶函数f所展开成的余弦级数为nxaaxfnncos2~)(10，（10）其中0.,2,1,0,cos)(2nnxdxxfan（11）当l且f为奇函数时,则它展开成的正弦级数为1,sin~)(nnnxbxf（12）其中0sin)(2nxdxxfbn（13）在实际应用中,有时需把定义在],0[上(或一般地],0[l上)的函数展开成余弦级数或正弦函数．为此,先把定义在],0[上的函数作偶式延拓或作奇式延拓到],[上(如图15-6(a)或(b))．然后求延拓后函数的傅立叶级数,即得(10)或(12)形式．但显然可见,对于定义在],0[上的函数,将它展开成余弦级数或正弦级数时,可以不必作延拓而直接由(11)式或(13)式计算出它的傅里叶系数．例2设函数xxxf,sin)(，求f的傅里叶级数展开式．解f是],[上的偶函数，图15-7是这函数及其周期延拓的图形．由于f是按段光滑函数，因此，可以展开成傅里叶级数,而且这个级数为余弦级数．由(10)式(这时可把其中”~”改为”=”)知10cos2sinnnnxaax，其中.,4,2,114,,5,3,0)1(],1)1[cos(121])1sin()1[sin(212cossin2cossin2,0cossin2,4sin2220000100nnnnnndxxnxnnxdxxnxdxxaxdxxaxdxan因此.],142cos21[22cos14412sin1212xmmxmxmxmm当0x时,有)14121(2012mm由此可得.)12)(12(153131121mm□例3把定义在],0[上的函数xhhxhxxf,0,,21,0,1)((其中h0)展开成正弦级数．解函数f如图15-8所示,它是按段光滑函数,因而可以展开成正弦级数(12),其系数).cos1(20)cos(2sin2sin)(200nhnhnnxnxdxnxdxxfbhn所以1.,0,sin)cos1(2)(nxhhxnxnnhxf当0x时,级数的和为0,当hx时,有21201sin)cos1(21nhnnhn本题中若h则有,0....),5sin513sin31(sin4sin)1(12)(1xxxxnxnxfnn而且当,0x时,级数收敛于0．□例４把xxf)(在(0,2)内展开成：(i)正弦级数;(ii)余弦级数.解(i)为了要把f展开为正弦级数，对作f奇式周期延拓(图15-9)，并由公式(8)有.,2,1,)1(4cos42sin22,,2,1,0,0120nnnndxxnxbnannn所以当)2,0(x时,由(9)及收敛定理得到).23sin3122sin212(sin42sin)1(4)(11xxxxnnxxfnn（14）但当2,0x时，右边级数收敛于0．(ii)为了要把f展开为余弦级数，对f作偶式周期延拓(图15-10)．由公式(6)得的f傅里叶系数为,2,1],1)1[(4)1(cos42cos22,2,,2,1,,0222022200nnnndxxnxaxdxanbnnn或),,2,1(0,)12(822212kakakk所以当)2,0(x时,由(7)及收敛定理得到).25cos5123cos312(cos812)12(cos)12(81)(222122xxxxkkxxfk（15）□由例4可以看到，同样一个函数在同样的区间上可以用正弦级数表示，也可以用余弦级数表示，甚至作适当延拓后，可以用更一般的形式(5)来表示．作业布置：Ｐ７７１（２）；４．