高等数学第十二章微分方程

第十二章微分方程一阶微分方程(,,)0Fxyy一、基本概念1．一阶微分方程的定义(,)yfxy或2．一阶微分方程的解、通解(,)yxC一阶微分方程的通解：含有一个任意常数的解一阶微分方程的解：使微分方程恒成立的.()yx(,(),())0Fxxx()()dyfxgydxxydxdy)()(xQyxPdxdy3．一阶微分方程的特解4．一阶微分方程的类型（1）可分离变量方程：（2）齐次方程：（3）一阶线性微分方程：初始条件：.00|xxyy特解：初值问题的解。00(,)|xxyfxyyy)1,0()()(nyxQyxPdxdynQPxy（4）伯努利方程：二、解题方法流程图求一阶微分方程通解的关键是先判定方程的类型，而判定方程类型的一般方法和思路是：（1）先用观察法判定是否为可分离变量方程，若是分离变量，两边积分即可得到其通解，否则转入下一步。（5）全微分方程：,满足0),(),(dyyxQdxyxP00(,)(,)(,)xyxyuxyPdxQdyC(,)()dyyfxydxx()()dyPxyQxdx()()(0,1)ndyPxyQxyndx(齐次方程)(一阶线性方程)(贝努利方程)若,继续判别。pQyx（2）判定是否为全微分方程。若,则为全微分方程，其通解为：xQyp（3）解出的解析式：判别是否为下面类型的方程：dydx对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这时常用的方法和技巧如下：A.熟悉常用的微分公式；B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程；一阶微分方程的解题方法流程图如下。C．变换自变量和因变量（即有时把看成自变量，而考虑的方程类型）。ydxdy求通解0QdyPdxPQyx一阶线性方程)()(xQyxPdxdy通解为[]PdxPdxyeQedxC贝努利方程()()ndyPxyQxydx其它一般方程令nyz1一阶线性方程变量代换齐次方程()dyydxx令yuxuudxdux)(可分离变量全微分方程可分离变量方程在G内取),(00yx通解Cyxu),(dxxfdyyg)()(dxxfdyyg)()(隐式通解CxFyG)()(00(,)(,)(,)xyxyuxyPdxQdy(1)()(1)()dznPxznQxdx可分离变量YesYesNo()dy=fx,ydx解出No解题方法流程图一、可降阶的高阶微分方程1．高阶微分方程的定义'''()(,,,,)0nFxyyy2．可降阶的高阶微分方程类型(1)()()nyfx(2)(,)yfxy(3)(,)yfyy3．可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解。解题方法流程图如下图所示。高阶微分方程解题方法流程图逐次积分),(yxfy解一阶微分方程解一阶微分方程),(yyfy可降阶的高阶微分方程)()(xfyn特点:不显含y转化为一阶方程),(pxfp特点:不显含x),,,,(ncccxy21通解YesNo令)(xPy令)(yPy转化为一阶方程),(Pyfpp二、二阶常系数线性微分方程1．定义(1)二阶常系数线性齐次微分方程：0ypyqy(2)二阶常系数线性非齐次微分方程:()ypyqyfx2．解的结构性质(1)若和1y2y是齐次方程的解,则1122CyCy是齐次方程的解。(2)若1y和2y是齐次方程的线性无关解,则是齐次1122CyCy方程的通解。(3)若1122YCyCy是齐次方程的通解，*y是非齐次方程的特解，则*Yy是非齐次方程的通解。和(4)若1y2y分别是非齐次方程的特解，则12yy是非齐次方程的特解。特征根通解21rr21rrir2,1)sincos(21xCxCeYxxrexCCY1)(21xrxreCeCY21213.齐次方程的解题方法2）求齐次线性方程的通解;Y1）写出特征方程,并求特征根；02qprr21,rrxmkexQxy)(*4.非齐次方程的特解)()(xPexfmx(1)若设特解为0k不是特征方程的根是特征方程的单根是特征方程的重根1k2k设特解为(2)若]sin)(cos)([)(xxPxxPexfnlx]sin)(cos)([)2()1(*xxRxxRexymmxk0k不是特征方程的根i1k是特征方程的根i5.非齐次方程的解题方法求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，一般分为四步：2）求对应的齐次线性方程的通解;Y3）根据不同类型的自由项()fx，利用待定系数法求出一个特解*y4）写出原方程的通解。*Yy解题方法流程图如下图所示。1）写出特征方程,并求特征根；02qprr21,rr解题方法流程图特征方程：20rprq有实根12(cossin)xYeCxCx的类型()fx混合型对分别求特解12(),()fxfx12**,yy***12yyy令k为特征方程含根的重复次数*()kxmyxeQx012(,,)k代入原方程，用待定系数法确定其参数令k为特征方程含根的重复次数12*()()[()cos()sin]kxmmyxeRxxRxxi01(,).max(,)kmln通解*yYy12rrYes12()()()fxfxfxYes112()rxYCCxeYes1,2riNo1212rxrxYCeCeNo1()()[()cos()sin]xlnfxfxePxxPxxNo求通解()ypyqyfx1()()()xmfxfxepxNo21dydxyx2lnln(1)lnyxxC三、一阶微分方程典型例题解：分离变量为积分得分析：用观察法，可见它是可分离变量方程。【例1】求解微分方程。210ydxxdy因此，所求通解为.21Cyxxcos1coscoscosyyyxydyxxxyydxxxx1cosseccosduuuuxuudxu分析：将方程变形，得此方程为齐次方程，所以按框图中的方法求解。【例2】求微分方程的通解。(cos)cos0yyxydxxdyxx解：令,于是,上式可化为yux,dyduyuxuxdxdxcosdxuduxsinlnlnuxCsinuxeCsinyxxCe分离变量积分得所以故原方程的通解为即,为可分离变量的方程secduxudx分析：此题为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。【例3】求微分方程的特解。sin,dyyxdxxx|1xy0dyydxxCyx22()()()sinxuxuxuxxxxx解法1：对应齐次方程为分离变量解得代入原方程得由常数变易法，令，则()uxyx2()()dyxuxuxdxx()cosuxxCcosxCyx解得所以原方程通解为1(cos1)yxx特解为将代入得1C|1xy11sin[dxdxxxxyeedxCx1(cos1)yxx特解为将代入得1C|1xylnlnsin[]xxxeedxCx解法2：因为，，利用求解公式得sin()xqxx1()pxx1cos[sin]xCxdxCxx23211dxxyyxydyyy【例4】求微分方程的通解.23(1)()0ydxxyydy分析：按框图所叙述的方法和思路，由于所给方程不是常见的已知类型的方程，即按通常的想法——将当作自变量，则方程为非线性方程。231dyydxxyyx但若将当作因变量，即将方程改写为y此时方程变为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。231dyydxxyy11211[]dydyyyxeyedyC21[(1)]1yydyCy解：因为由公式得原方程的通解为所以为一阶线性微分方程211dxxydyy341()134yyCy22,,41,1dPdQPxyyQxxydydx分析：首先可以看出，它不是可分离变量方程；又故按框图中的方法求解。【例5】求解微分方程。2(2)0xdyxyydx显然，它也不是全微分方程。于是继续判别，PQyx解出，得。这是贝努利方程，?dydx212dyyydxx12dzzdxx11[2]dxdxxxzeedxC2xyxC为一阶线性方程。由公式得所以，原方程的通解为解：令,代入方程可化为12,zyzyy21[2]xCxdxCxx分析：可将方程变形为，此方程为齐次方程；2()yyyxx所以按框图中的方法分别求解。也可将方程变形为，此方程又为贝努利方程，2211yyyxx令，代入原方程得dxxuudu122xyu22Cxyxy解得，即22Cxuu解法1：将原方程整理成,即标准的齐次方程，2()yyyxx【例6】求方程满足的特解。1)1(y22yxydxdyxyxx122代入有，原方程特解是1C1)1(yCxxz21Cxxy211数的一阶线性方程，解之得即解法2：整理原方程得，为贝努利方程。2211yxyxy令代入原方程得，是以为未知yz1211xzxzzyxx122代入有，原方程特解是1C1)1(y故此方程为全微分方程，用框图中的方法求解。【例7】求微分方程的通解。()0yyxedyedxdy分析：原方程可化为，这里(1)0yyxedyedx,1,yyPeQxeyPQeyx由于解：因为，故此方程为全微分方程。yPQeyx取，则00(,)(0,0)xy(,)(0,0)(,)()(1)xyyyuxyedxxedy00()(01)xyyyyedxedyxey所以原方程的通解为。yyxeC分析：此题首先可以分离变量，是可分离变量的方程；【例8】求方程的通解。0)1()1(22dyxydxyx1122xxdxyydy2211ydyxdxyxCyx)1)(1(22两边积分得通解解法1：原方程可分离变量，即因为，所以又是全微分方程；还可通过直接凑微分的方法求解。2PQxyyx200(,)(1)xyuxyxdxyxdyCxyx)1(2121222解法2：由知原方程是全微分方程，xyxQyP2取，则00(,)(0,0)xy22211(1)22xyx则原方程的通解为0)1ln()1ln(2122xdydCyx)1)(1(22最后得通解为然后直接凑微分得解法3：将原方程整理成的形式，01122xxdxyydy4dxdudxdy44yxu，用框图中的最后一种方法求解。分析：此方程为一阶微分方程，依次判别这个方程不是可分离变量的、齐次的、一阶线性的、伯努利的和全微分方程，只能能用变量代换，将其化为已知类型。根据【例9】求的通解。2)44(yxy题目的特点，右侧函数为的函数，所以令44yx解：令，则44,44uxyyux代入原方程中，得，42udxdu为可分离变量得方程。dxudu42分离变量得11arctan22uxC1144arctan22xyxC2tan(