高等数学课件3-2洛必达法则

$3-2洛必达法则2洛必达法则型未定式解法型及一、:00shospitalL(,,)Rule定义.00)x(F)x(flim)x(F)x(f)x(ax)x(ax型未定式或常把这种极限称为在．通可能存在、也可能不存极限大，那末都趋于零或都趋于无穷与时，两个函数或如果当例如,1tanlim0xxx2limxxxe);00().((indeterminateforms)不存在$3-2洛必达法则3.)()(lim)()(lim),()()(lim)3(;0)()()(,)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax那末或为无穷大存在且都存在及点的某去心邻域内在都趋于零及函数时当设定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.shospitalL(,,)Rule$3-2洛必达法则4证,为端点的区间上与在以xa,)(),(件满足柯西中值定理的条xFxf则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)(之间与在ax)()(limxFxfax)()(lim)()(limFfxFxfaaxaaxax0)()(,)()()()(limafaFaFafxFxfax可假定无关及与于是由条件（1）（2）F(x)、f(x)在点a的某一邻域内连续(,)Uaδ(,),Uaδx在任取一内点$3-2洛必达法则5该法则仍然成立时当,)3(x使用洛必达法则，即定理的条件，可以继续满足型，且仍属如果)(),(00)()()2(xFxfxFxf;)()(lim)()(lim)()(limxFxfxFxfxFxfaxaxax;)()(lim)()(limxFxfxFxfxx.,,)4(也有相应的洛必达法则时的未定式当xax注：（1）使用洛必达法则之前，要验证条件；$3-2洛必达法则6例1解.tanlim0xxx求)()(tanlim0xxx原式1seclim20xx.1例2(P168)解.123lim2331xxxxxx求12333lim221xxxx原式266lim1xxx.23)00()00(后划等号)00($3-2洛必达法则7例3(P169)解.1arctan2limxxx求22111limxxx原式221limxxx.1例4(补充)解.sinlnsinlnlim0bxaxx求0cossinlimsincosxaaxbxaxbbx原式.1)00()(0sincoslimcossinxbxaxbxbxaxax$3-2洛必达法则8例5(补充)解.3tantanlim2xxx求xxx3sec3seclim222原式xxx222cos3coslim31xxxxxsincos23sin3cos6lim312xxx2sin6sinlim2xxx2cos26cos6lim2.3)(0()00()0先划后划再划$3-2洛必达法则9注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法（化简、变形、无穷小代换等）结合使用，效果更好.例6(与P171例10类似)解.tantanlim20xxxxx求30tanlimxxxx原式22031seclimxxx220tan1lim3xxx.310()0（无穷小代换）0()00()0tan2x+1=sec2x$3-2洛必达法则10型未定式解法二、00,1,0,,0例7(补充)解.lim2xxex求)0(xexx2lim2limxxe.关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.),00()(型0.1步骤:,10.0100或2limxexx原式)($3-2洛必达法则11例8(补充)解).1sin1(lim0xxx求)(0101.0000xxxxxsinsinlim0原式xxx2cos1lim0.0型.2步骤:（通分）(reductiontocommondenominator)0()020sinlimxxxx0()02sinlim0xx（无穷小代换）$3-2洛必达法则12例9(P170)).(seclim2tgxxx求()=)cossincos1(lim2xxxx=xxxcossin1lim2=xxxsincoslim2=0解原式0()0$3-2洛必达法则13步骤:幂指函数型）型(,1,0.300ln01ln0ln01000取对数.0例10（P170)解.lim0xxx求)0(0xxxeln0lim原式xxxelnlim02011limxxxe0e.1xxxe1lnlim0()$3-2洛必达法则14例11(补充）解.lim111xxx求)1(xxxeln111lim原式xxxe1lnlim111lim1xxe.1e例12（补充）解.)(cotlimln10xxx求)(0)ln(cotln1ln1)(cotxxxex)ln(cotln1lim0xxxxxxx1)sin1(cot1lim20xxxxsincoslim0,1.1e原式)00(()$3-2洛必达法则15例13xxx)21(lim(1)22)21(limxxx2e用重要极限很简单，不需取对数。$3-2洛必达法则16例14(补充)解.coslimxxxx求1sin1limxx原式).sin1(limxx极限不存在（2）有时洛必达法则失效(invalid).)cos11(limxxx原式.1注意（1）洛必达法则的使用条件．limxxxxxeeee解原式例15(补充)求.limxxxxxeeee=xxxxxeeeelim=xxxxxeeeelim(如此下去求不出结果).实际上,)()()()($3-2洛必达法则17三、小结洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111取对数令gfy$3-2洛必达法则18思考题设)()(limxgxf是不定型极限，如果)()(xgxf的极限不存在且不为无穷，是否)()(xgxf的极限也一定不存在？举例说明.$3-2洛必达法则19思考题解答不一定．例,sin)(xxxfxxg)(显然)()(limxgxfx1cos1limxx极限不存在且不为无穷．但)()(limxgxfxxxxxsinlim1极限存在．$3-2洛必达法则20一、填空题：1、洛必达法则除了可用于求“00”，及“”两种类型的未定式的极限外，也可通过变换解决_____________，_____________，____________，_____________，_____________，等型的未定式的求极限的问题.2、xxx)1ln(lim0=___________.3、xxx2tanln7tanlnlim0=____________.练习题Exercises$3-2洛必达法则21二、用洛必达法则求下列极限：1、22)2(sinlnlimxxx；2、xxxarctan)11ln(lim；3、xxx2cotlim0；4、)1112(lim21xxx；5、xxxsin0lim；6、xxxtan0)1(lim；7、xxx)arctan2(lim.$3-2洛必达法则22三、讨论函数0,0,])1([)(2111xexexxfxx当当,在处点0x的连续性.$3-2洛必达法则23一、1、00,0,1,,0；2、1；3、1.二、1、81；2、1；3、21；4、21；5、1；6、1；7、2e.三、连续.练习题答案Answertoexercises