2015届高三数学(理)一轮复习课件：3.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式(人教A版)

第三章三角函数、解三角形第3课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝_______________________________；cos(α∓β)＝______________________________；tan(α±β)＝______________________________．tanα±tanβ1∓tanαtanβsinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ±sinαsinβ栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝____________；cos2α＝____________＝_____________＝____________;tan2α＝_____________．3．有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)_______________；(2)cos2α＝____________，sin2α＝_______________；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.2tanα1－tan2α1＋cos2α21－cos2α22sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α(1∓tanαtanβ)栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．(2013·高考江西卷)若sinα2＝33，则cosα＝()A．－23B．－13C.13D.23C栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα＝()A．－72B．－12C.12D.72C栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关3．已知tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为()A.2941B.129C.141D．1D栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关4．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为________．5．已知α∈π2，π，sinα＝55，则tan2α＝________．22－43栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2013·高考广东卷)已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.(1)求f－π6的值；(2)若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求f2θ＋π3.三角函数公式的直接应用[课堂笔记]栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】(1)因为f(x)＝2cosx－π12，所以f－π6＝2cos－π6－π12＝2cos－π4＝2cosπ4＝2×22＝1.(2)因为θ∈3π2，2π，cosθ＝35，所以sinθ＝－1－cos2θ＝－1－352＝－45，栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关cos2θ＝2cos2θ－1＝2×352－1＝－725，sin2θ＝2sinθcosθ＝2×35×－45＝－2425.所以f2θ＋π3＝2cos2θ＋π3－π12＝2cos2θ＋π4＝2×22cos2θ－22sin2θ＝cos2θ－sin2θ＝－725－－2425＝1725.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．已知α∈(0，π2)，tanα＝12，求tan2α和sin(2α＋π3)的值.【解】tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－（12）2＝43.∵α∈(0，π2)，2α∈(0，π)，tan2α＝43＞0，∴2α∈(0，π2)，∴sin2α＝45，cos2α＝35，∴sin(2α＋π3)＝sin2α·cosπ3＋cos2α·sinπ3＝45×12＋35×32＝4＋3310.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(1)(2014·河南洛阳统考)函数f(x)＝2sin2(π4＋x)－3cos2x的最大值为()A．2B．3C．2＋3D．2－3(2)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________．三角函数公式的活用[课堂笔记]B12cos2x栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】(1)依题意，f(x)＝1－cos2(π4＋x)－3cos2x＝sin2x－3cos2x＋1＝2sin2x－π3＋1，可得f(x)的最大值是3.(2)原式＝12（4cos4x－4cos2x＋1）2×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝（2cos2x－1）24sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．若α＋β＝3π4，则(1－tanα)(1－tanβ)的值是________．2【解析】－1＝tan3π4＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，∴tanαtanβ－1＝tanα＋tanβ.∴1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1－tanα)(1－tanβ)＝2.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(1)设tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，则tanα＋π4＝()A.1318B.1322C.322D.16角的变换C栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2)(2014·贵州六盘水质检)已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈0，π2，则cos(α－β)的值等于()A．－12B.12C．－13D.2327[课堂笔记]D栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】(1)tanα＋π4＝tan（α＋β）－β－π4＝tan（α＋β）－tanβ－π41＋tan（α＋β）tanβ－π4＝322.(2)∵α∈0，π2，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝13，∴cos2α＝2cos2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos22α＝429，栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关而α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝223，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝－79×－13＋429×223＝2327.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－π4－α.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关3．已知α，β∈(0，π2)，且sinα＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．【解】(1)∵α，β∈0，π2，从而－π2＜α－β＜π2.又∵tan(α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1010.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sinα＝35，∴cosα＝45.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝45×31010＋35×－1010＝91050.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2013·高考四川卷)设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．二倍角公式的应用3栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关[解析]∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.∵α∈π2，π，sinα≠0，∴cosα＝－12.又∵α∈π2，π，∴α＝23π，∴tan2α＝tan43π＝tanπ＋π3＝tanπ3＝3.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关本考题源于教材人教A版必修4P135练习T3“已知sin2α＝－sinα，α∈(π2，π)，求tanα的值．”的变式而成．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos2(α＋π4)＝()A.16B．13C.12D.23A栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】∵sin2α＝23，∴cos2(α＋π4)＝1＋cos（2α＋π2）2＝1－sin2α2＝1－232＝16.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．(2014·河北衡水一中月考)设x∈(0，π2)，则函数y＝2sin2x＋1sin2x的最小值为________．3【解析】因为y＝2sin2x＋1sin2x＝2－cos2xsin2x，所以令k＝2－cos2xsin2x.又x∈(0，π2)，所以k就是单位圆的左半圆上的动点P(－sin2x，cos2x)与定点Q(0，2)所在直线的斜率，又kmin＝tan60°＝3，所以函数2sin2x＋1sin2x的最