2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第4课时 基本不等式

高考调研第七章不等式及推理与证明高三数学（新课标版·理）第七章不等式及推理与证明2013届高考一轮数学复习理科课件（人教版）高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研第4课时基本不等式高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研1．了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最值问题.2012·考纲下载高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用.请注意！高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研1．基本不等式若a，b∈R＋，则a＋b2≥ab，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．a＝b不小于高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研2．常用不等式(1)若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当时取“＝”．(2)a2＋b22≥a＋b22≥ab.(3)a2＋b2≥2|ab|.(4)x＋1x≥2.a＝b高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝p(定值)．那么当时，x＋y有最小值2p.(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)．那么当时，xy有最大值.x＝yx＝yS24高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研1．(2011·上海)若a，b∈R，且ab0，下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD.ba＋ab≥2答案D高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研2．(2010·重庆文)已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．答案－2解析依题意得y＝t＋1t－4≥2t·1t－4＝－2，此时t＝1，即函数y＝t2－4t＋1t(t0)的最小值是－2.高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研3．已知x，y∈R＋，且4x＋3y＝12，则3x＋4y的最小值为________．解析∵4x＋3y＝12，∴x3＋y4＝1，∴(x3＋y4)(3x＋4y)＝2＋3y4x＋4x3y≥4.高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研4．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图像交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．答案4高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研解析由题意知：P、Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，则m0，n0，n＝2m，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝4(m2＋4m2)≥16(当且仅当m2＝4m2，即m＝2时，取等号)，故线段PQ长的最小值是4.高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研5．(2010·安徽卷)若a0，b0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2.答案①③⑤高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研解析两个正数，和为定值，积有最大值，即ab≤a＋b24＝1，当且仅当a＝b时取等号，故①正确；(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝2＋2ab≤4，当且仅当a＝b时取等号，得a＋b≤2，故②错误；由于a2＋b22≥a＋b24＝1，故a2＋b2≥2成立，故③正确；a3＋b3＝(a高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研＋b)(a2＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，∵ab≤1，∴－ab≥－1.又a2＋b2≥2，∴a2＋b2－ab≥1，∴a3＋b3≥2，故④错误；1a＋1b＝(1a＋1b)a＋b2＝1＋a2b＋b2a≥1＋1＝2，当且仅当a＝b时取等号，故⑤正确．高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研题型一利用基本不等式求最值例1在下列条件下，求y＝4x－2＋14x－5的最值．(1)x54时，求最大值；(2)x54时，求最小值；(3)x≥2时，求最小值．高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研【解析】(1)∵x54，∴5－4x0.∴y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立．故当x＝1时，ymax＝1.高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研(2)∵x54，∴4x－50，y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3≥2＋3＝5.当且仅当4x－5＝14x－5，即x＝32时上式“＝”成立．即x＝32时，ymin＝5.高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研(3)当x≥2时，y＝4x－2＋14x－5为增函数，∴ymin＝4×2－2＋14×2－5＝193.高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研探究1用均值不等式求最值要注意三个条件一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，如例1第一问，“二定”不满足时，需变形如例1第二问，“三相等”不满足时，可利用函数单调性如例1第三问．高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研思考题1(1)x1时，x＋4x－1的最小值为_______．(2)x≥4时，x＋4x－1的最小值为________．高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研【解析】(1)∵x1，∴x－10.∴x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥24＋1＝5，(当且仅当x－1＝4x－1.即x＝3时“＝”号成立)∴x＋4x－1的最小值为5.高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研(2)∵x≥4，∴x－1≥3，∵函数y＝x＋4x，在[3，＋∞)上为增函数，∴当x－1＝3时，y＝(x－1)＋4x－1＋1有最小值163.【答案】(1)5(2)163高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研题型二利用基本不等式求二元函数的最值例2(1)已知x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．【思路一】求二元函数f(x，y)＝x＋y的最值的一般方法是通过已知等式进行代入消元，转化为一元函数．高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研【解析一】由1x＋9y＝1得y＝9xx－1＝9＋9x－1，由x＞0y＝9xx－1＞0得x＞1，∴x＋y＝x＋9＋9x－1＝x－1＋9x－1＋10≥29＋10＝16，(当且仅当x－1＝9x－1即x＝4时，上式取“＝”号)．∴x＋y的最小值为16.高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研【思路二】对二元函数也可转化为形如Axy＋Byx型函数，然后利用均值不等式求解．高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研【解析二】∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)(1x＋9y)＝1＋9xy＋yx＋9＝10＋9xy＋yx≥10＋29xy·yx＝16，(当且仅当9xy＝yx即x＝4，y＝12时，上式取“＝”号．)∴x＋y的最小值为16.【答案】16高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研(2)(2011·浙江理)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．【解析】∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2＝3xy＋1＝32×2xy＋1≤32×(2x＋y2)2＋1，∴(2x＋y)2≤85，(2x＋y)max＝2105.【答案】2105高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研探究2二元函数求最值方法一是通过消元，将二元化一元，方法二是通过变形直接运用均值不等式．高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研思考题2(1)(2011·湖南理)设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋1y2)(1x2＋4y2)的最小值为________．高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研【解析】(x2＋1y2)(1x2＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋1x2y2≥1＋4＋24x2y2·1x2y2＝9，当且仅当4x2y2＝1x2y2时等号成立，即|xy|＝22时等号成立．【答案】9高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研(2)(2011·浙江文)若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研【解析】∵xy≤14(x＋y)2，∴1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－14(x＋y)2＝34(x＋y)2，∴(x＋y)2≤43，∴－233≤x＋y≤233，当x＝y＝33时，x＋y取得最大值233.【答案】233高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研题型三用基本不等式证明不等式例3已知a，b，c∈R，求证：(1)a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)；(2)a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研【证明】(1)∵a2＋b22≥(a＋b2)2，∴a2＋b22≥|a＋b|2≥a＋b2，即a2＋b2≥22(a＋b)，同理b2＋c2≥22(b＋c)，c2＋a2≥22(c＋a)，高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研三式相加得a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．(2)∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2，∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc，∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，即a2b2＋b2c2＋c2a2≥ab2c＋abc2＋a2bc＝abc(a＋b＋c)．【答案】略高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研探究3证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证．本题先局部运用重要不等式，然后用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明这类轮换对称不等式时具有一定的普遍性．高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研思考题3已知a0，b0，c0且a、b、c不全相等，求证：bca＋acb＋abca＋b＋c.高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研【证明】∵a，b，c∈R＋，且不全相等，∴bca＋acb≥2bca·acb＝2c，同理：acb＋abc≥2a，abc＋bca≥2b.上述三个等号至少有一个不成立，三式相加得，高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研2aca＋acb＋abc2(a＋b＋c)．即bca＋acb＋abca＋b＋c.【答案】略高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研题型四基本不等式的实际应用例4(2012·烟台调研)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．高考调研高三数学（新课标版·理）第七章第4课时高考调研(