2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第7课时___正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2014·考纲下载综合近两年的新高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点．不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视.请注意！1．正弦定理asinA＝＝＝2R其中2R为△ABC外接圆直径变式：a＝，b＝，c＝.a∶b∶c＝∶∶bsinBcsinC2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinC2．余弦定理a2＝b2＝c2＝变式：cosA＝；cosB＝；cosC＝.sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosAb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab题型一利用正弦、余弦定理解斜三角形例1(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝3，A＝45°，求B，C及边c.【思路】已知a，b，A，由正弦定理可求B，从而可求C，c；【解析】解法一由正弦定理得asinA＝bsinB，∴sinB＝basinA＝32·sin45°＝32·22＝32，∵ba，BA＝45°，∴有两解B＝60°或120°.①当B＝60°时，C＝180°－(45°＋60°)＝75°，c＝asinA·sinC＝2sin45°sin75°＝6＋22.②当B＝120°时，C＝180°－(45°＋120°)＝15°，c＝asinA·sinC＝2sin45°·sin15°＝6－22.解法二由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，∴c2－6c＋1＝0∴c＝6±22.当c＝6＋22时cosB＝a2＋c2－b22ac＝－12.∴B＝120°当c＝6－22时，cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，∴B＝60°.1．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝2b·sinA，则B等于()A．30°或60°B．45°或60°C．60°或120°D．30°或150°答案D2．(2013·北京理)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，sinA＝13，则a＝________.答案523解析根据正弦定理asinA＝bsinB，得a＝5×1322＝523.3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于()A.14B.34C.24D.23答案B解析∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34.4．已知△ABC，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c＝()A．25B.5C．25或5D．均不正确答案C解析asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝155·sin30°＝32.∵ba，∴B＝60°或120°.若B＝60°，C＝90°，∴c＝a2＋b2＝25.若B＝120°，C＝30°，∴a＝c＝5.探究1(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在△ABC中，已知a＝1，b＝2，A＝60°，则sinB＝basinA＝31，问题就无解)，如果有解，是一解，还是二解．(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定．思考题1(2012·山东师大附中)在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C对边的长，且满足cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的值；(2)若b＝19，a＋c＝5，求a，c的值．【解析】(1)由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC＝2R∴a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.代入cosBcosC＝－b2a＋c得cosBcosC＝－sinB2sinA＋sinC.即2sinAcosB＋sinCcosB＋sinBcosC＝0.2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0.在△ABC中，有A＋B＋C＝π，即sinA＝sin(B＋C)．∴2sinAcosB＋sinA＝0.∵sinA≠0，∴cosB＝－12，从而B＝2π3.(2)由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)．即19＝52－2ac(1－12)．∴ac＝6.由ac＝6a＋c＝5，得a＝2c＝3或a＝3c＝2.答案(1)B＝2π3(2)a＝2c＝3或a＝3c＝2题型二判断三角形性状例3在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．【分拨】利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．【解析】方法一已知即a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正弦定理，即sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0，∴sin2A＝sin2B，由02A,2B2π，得2A＝2B或2A＝π－2B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形．方法二同方法一可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正、余弦定理，即得a2bb2＋c2－a22bc＝b2aa2＋c2－b22ac，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴三角形为等腰三角形或直角三角形．【答案】三角形为等腰三角形或直角三角形【误区警示】方法一：本题容易由sin2A＝sin2B只得出2A＝2B而漏掉2A＝π－2B.方法二：对于a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)若采用约分只得出a2＝b2而漏解．探究2三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π2等．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA＝a2R，cosA＝b2＋c2－a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．思考题3(1)在△ABC中，已知acosA＝bcosB，则△ABC为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【解析】方法1由acosA＝bcosB得cosAcosB＝ba.由正弦定理得ba＝sinBsinA，所以cosAcosB＝sinBsinA，即sinAcosA＝sinBcosB，故sin2A＝sin2B.因为角A、B为三角形的内角，所以2A＝2B，或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝π2，即△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以选C.方法2将cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac代入已知条件，得a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac.去分母，得a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)．整理得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2＝b2或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选C.【答案】C1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角，(2)化角为边；并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．2．在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．如：(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.请做：课时提升作业（二十三）书面作业：世纪金榜p64考向31,2和互动探究