1.4.2正弦函数余弦函数的性质(周期性)公开课

§1.4.2正弦函数、余弦函数的性质----周期性1.终边相同的角的三角函数值有何关系？2k角与角的终边相同，同名函数值相等，即sincos(2)cosktan(2)tanksin(2)k2.五点法画函数y=sinx，x∈[0，2π]图象；yxo1-122322xy=sinx0000213212x6yo--12345-2-3-413.正弦函数y=sinx，x∈R的图象；y=sinxx[0,2]y=sinxxR余弦曲线：正弦曲线：sinyxxRcosyxxRxy1-1yx1-1oo观察：正弦曲线与余弦曲线二者存在什么样的共同的特点呢？yx1-1正弦曲线：sinyxxR余弦曲线：cosyxxR共同特点：“高峰和低谷”重复出现，具有“周而复始”的现象。xy1-1你能列举一下生活中存在的的“周而复始”现象吗？数学中具有“周而复始”的现象称为周期性。对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。一周期函数的定义：周期函数：对每个x都有：f(x+T)=f(x)，T叫做周期。问题1：正弦函数y=sinx是周期函数吗？sin(2)sinxkx问题2：如果是，它的周期是什么？如果不是，请说明理由。问题3：正弦函数y=sinx是周期是唯一的吗？2Tk事实上，任何一个常数2(,kkz且k0)都是y=sinx的周期。(2)()fxkfxx对每一个1.f(x+T)=f(x)对每一个x都成立时候，才可以说T是f(x)的周期。2.只有个别的x满足f(x+T)=f(x)时，不能判断T是否是f(x)的周期。sin(2)sinsin2xxyx（1）因为，所以的周期是（）判断正误sin()sinsin4242yx（2）因为，所以的周期是（）提示：只需判断对每一个x，是否都有f(x+T)=f(x)成立。sin(2)sinsin2xxyx（1）因为，所以的周期是（）3x特别地，当时，()()fxTfx不满足判断正误sin()sinsin4242yx（2）因为，所以的周期是（）提示：只需判断对每一个x，是否都有f(x+T)=f(x)成立。解析：,sin(2)sinxxx（1）对每一个都有2sinx所以是y=的周期,sin()2xx（2）对每一个都有cosxsin()cossin3233以后我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；对于一个周期函数如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期。()fx()fx二最小正周期的定义正弦函数y=sinx是周期是2(,kkz且k0)即--4-2246T…6，，，，，…最小正周期是2说明：例：周期中的最小正数2(,kkz且k0)2正弦函数是周期函数，他的周期，最小正周期是。都是2(,kkz且k0)2余弦函数是周期函数，他的周期，最小正周期是。都是(1)y=3cosx,x∈R;1(3)2sin(),26yxxR(2)y=sin2x,x∈R;例2求下列函数的周期：周期函数的周期性在图像上能直观体现出来，如果能画出它们的图像，就可直观的看出周期。看图像(1)y=3cosx,x∈R;1(3)2sin(),26yxxR(2)y=sin2x,x∈R;例2求下列函数的周期：解：由图像可知(1)2T(2)T(3)4T看图像探究sin()yAwxc函数的周期T与系数A,w,c中哪个有关？周期T与w有关，|w|越大T越小，|w|越小T越大。看图像结论：函数w值周期TwTy=sinxy=sin2x12sin(-)26yx2Tw2wT与的积是常数122422212思考：w与T之间存在什么关系呢？sin()yAwxc2wT即×结论：最小正周期是：一般地，函数及（其中为常数，且）的周期是cos()yAx,,A0,0Asin()yAx2T2T(1)y=3cosx,x∈R;1(3)2sin(),26yxxR(2)y=sin2x,x∈R;例2求下列函数的周期：解：2(1)T2212(2)T222(3)T2412公式法求正弦、余弦函数最小正周期要点：1.求w的值.(w是x的系数)2.套用公式：2T求下列函数的最小正周期31sin4yxxR（），cos()yAx0,0Asin()yAx函数2T最小正周期是：13cos()2yxxR（），2cos(42)yxxR（），228(1)334T31sin4yxxR（），13cos()2yxxR（），2cos(42)yxxR（），22(2)42T22(3)41||2T解：求下列函数的最小正周期基础达标一、选择题1.下列函数中，最小正周期为的函数是（）.sin2xAy.cos2xBy.cosCyx.cos2Dyx解析：22=41||2ATw，22,=2||1CTw22,=41||2BTw22,=||2DTwD23sin(()yaxab．函数＝)的最小正周期为，则＝　　.2A.2B.2C.3D解析：22=||||Twa||2a2aB3.函数的最小正周期是（）(1)2cos2xy.4A.4B.2C.4D解析：(1)2cos2xy2cos()22x2=||TwD24||2w=?24.函数的最小正周期是（）25sin()56yx2.5A5.2B.2C.5D解析：22=52||||5TwD1.周期函数、最小正周期的定义；2.课堂小结：cos()yAxsin()yAx和型函数的周期的求法。最小正周期：2T(1)y=3cosx,x∈R;1(3)2sin(),26yxxR(2)y=sin2x,x∈R;例2求下列函数的周期：解：由图像可知(1)2T(2)T(3)4T看图像