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-1-第3课时几何法、反证法-2-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.了解几何法的证明过程,并会用几何法证明简单的不等式.2.掌握反证法,并会用反证法证明不等式.-3-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.几何法通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法.【做一做1】已知x,y,z∈(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1.分析:构造一个边长为1的正三角形,利用三角形的面积关系来证明.证明:如图,构造正三角形ABC,设其边长为1,BD=x,AF=y,CE=z,则根据面积关系S△ABCS△BDF+S△DCE+S△AEF,得1·1·sin60°x(1-y)sin60°+y(1-z)sin60°+z(1-x)sin60°.整理,得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1,即得证.-4-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.反证法反证法证不等式是先假设所要证的不等式不成立,也就是说不等式的反面成立,以此为出发点,结合已知条件,进行推理论证,最后推出矛盾的结果,从而断定假设错误,因而确定要证的不等式成立.它的步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3)否定假设,肯定结论.名师点拨反证法与分析法虽然都是从命题的结论出发,但不同的是反证法是从否定命题的结论出发,直到得出一个矛盾的结果为止;而分析法则是逐步探求使命题结论成立的充分条件.-5-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2】如果ab0,证明:1𝑎21𝑏2.分析:先假设1𝑎2≥1𝑏2成立,从假设出发,推出矛盾.证明:假设1𝑎2≥1𝑏2,则1𝑎2−1𝑏2=𝑏2-𝑎2𝑎2𝑏2≥0.∵ab0,∴a2b20,b2-a2=(b+a)(b-a)≥0.∵ab0,∴b+a0,∴b-a≥0,即b≥a.这与已知ab矛盾.∴假设不成立,即1𝑎21𝑏2成立.-6-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.反证法中的数学语言剖析:反证法适宜证明“存在性问题”,“唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时,常采用反证法.下面列举一些常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个以上是不全不都是对数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一些特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此.-7-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.用反证法证明不等式剖析:(1)用反证法证明,就是从结论的反面出发,要求结论反面的情况只有有限种,然后证明这种反面的结论都是不可能的,是与已知条件、已知事实或已证明过的定理相矛盾的.(2)要证不等式MN,先假设M≤N,由题设及其他性质推出矛盾,从而肯定MN成立.凡涉及的证明不等式为否定性命题,唯一性命题或是含“至多”“至少”等字句时,可考虑使用反证法.(3)用反证法证明不等式要把握三点:①必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不完全的.②反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证;否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法.③推导出来的矛盾可以是多种多样的,有的与已知条件相矛盾,有的与假设相矛盾,有的与定理、公理相违背,有的与已知的事实相矛盾等等,但推导出的矛盾必须是明显的.-8-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型一用几何法证明不等式【例1】已知a0,b0,c0,求证:𝑎2-𝑎𝑏+𝑏2+𝑏2-𝑏𝑐+𝑐2≥𝑎2+𝑎𝑐+𝑐2,当且仅当1𝑏=1𝑎+1𝑐时取等号.分析:从三个根式的结构特点,容易联想到余弦定理,于是可构造图形,利用余弦定理来证明.-9-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二证明:如图,作OA=a,OB=b,OC=c,∠AOB=∠BOC=60°,则∠AOC=120°,AB=𝑎2-𝑎𝑏+𝑏2,BC=𝑏2-𝑏𝑐+𝑐2,AC=𝑎2+𝑎𝑐+𝑐2.由几何知识知,AB+BC≥AC,即𝑎2-𝑎𝑏+𝑏2+𝑏2-𝑏𝑐+𝑐2≥𝑎2+𝑎𝑐+𝑐2,当且仅当A,B,C三点共线时等号成立.此时有12absin60°+12bcsin60°=12acsin120°,即ab+bc=ac,故当且仅当1𝑏=1𝑎+1𝑐时,取得等号.反思利用几何法证明不等式的关键是构造几何图形,先要研究所证不等式两边的结构特点,再把其中的字母当作图形的边长,最后用几何图形中的不等关系来表示所要证明的不等式.-10-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二【变式训练1】已知x,y,z0,求证:𝑥2+𝑦2-2𝑥𝑦+𝑦2+𝑧2-3𝑦𝑧𝑧2+𝑥2-𝑧𝑥.证明:构造三棱锥V-ABC,且VA=x,VB=y,VC=z,∠AVB=45°,∠BVC=30°,∠CVA=60°.如图所示,则AB=𝑥2+𝑦2-2𝑥𝑦,BC=𝑦2+𝑧2-3𝑦𝑧,CA=𝑧2+𝑥2-𝑧𝑥.因为在△ABC中,AB+BCCA,所以𝑥2+𝑦2-2𝑥𝑦+𝑦2+𝑧2-3𝑦𝑧𝑧2+𝑥2-𝑧𝑥.-11-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型二用反证法证明不等式【例2】已知a0,b0,且a+b2,求证:1+𝑏𝑎,1+𝑎𝑏中至少有一个小于2.分析:由于题目的结论比较复杂,讨论起来比较烦琐,宜采用反证法.证明:假设1+𝑏𝑎,1+𝑎𝑏都不小于2,即1+𝑏𝑎≥2,1+𝑎𝑏≥2.∵a0,b0,∴1+b≥2a,1+a≥2b.两式相加,得1+b+1+a≥2(a+b).即a+b≤2,这与已知a+b2矛盾.故假设不成立.因此,1+𝑏𝑎,1+𝑎𝑏中至少有一个小于2.反思从“正难则反”的角度考虑,即要证明不等式AB,先假设A≤B.由题设及其他性质推出矛盾,从而肯定AB.凡涉及证明不等式为否定命题、唯一性命题、命题中含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时,可以考虑用反证法.-12-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二【变式训练2】设a,b,c,d都是小于1的正数,求证:4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)这四个数不可能都大于1.证明:假设4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)都大于1,则a(1-b)14,b(1-c)14,c(1-d)14,d(1-a)14.∴𝑎(1-𝑏)12,𝑏(1-𝑐)12,𝑐(1-𝑑)12,𝑑(1-𝑎)12.又∵𝑎(1-𝑏)≤𝑎+(1-𝑏)2,𝑏(1-𝑐)≤𝑏+(1-𝑐)2,𝑐(1-𝑑)≤𝑐+(1-𝑑)2,𝑑(1-𝑎)≤𝑑+(1-𝑎)2,∴𝑎+(1-𝑏)212,𝑏+(1-𝑐)212,𝑐+(1-𝑑)212,𝑑+(1-𝑎)212,以上四个式子相加,得22,矛盾.∴原结论成立.-13-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123451实数a,b,c不全为零的条件为()A.a,b,c全不为零B.a,b,c中至多只有一个为零C.a,b,c中只有一个为零D.a,b,c中至少有一个不为零解析:a,b,c不全为零,即为a,b,c不能同时为零,也就是a,b,c中至少有一个不为零.答案:D-14-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123452若△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,则()A.∠B=π2B.∠Bπ2C.∠Bπ2D.∠B=π3解析:假设∠B≥π2,则b最大,有ba,bc,∴1𝑎1𝑏,1𝑐1𝑏.∴1𝑎+1𝑐2𝑏,与题意中的1𝑎+1𝑐=2𝑏矛盾.∴∠Bπ2.答案:B-15-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123453若a,b∈R,且a2+b2=10,则a-b的取值范围是()A.[0,10]B.[-210,210]C.[-10,10]D.[-25,25]解析:由a2+b2=10,得点(a,b)是以原点为圆心,以10为半径的圆上的点.设a-b=t,则t为斜率为-1的直线在x轴上的截距,由图可知当直线与圆相切时,t取最值,此时圆心到直线的距离d=|𝑡|2=10,∴|t|=25,即tmin=-25,tmax=25.答案:D-16-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123454设a,b∈R,给出下列条件:①a+b1;②a+b=2;③a+b2;④a2+b22;⑤ab1.其中能推出“a,b中至少有一个实数大于1”的条件是(填序号).解析:对于①,a,b均可小于1;对于②,a,b均可等于1;对于④⑤,a,b均可为负数;对于③,若a,b都不大于1,则a+b≤2,与③矛盾.故若③成立,则“a,b中至少有一个实数大于1”成立.答案:③-17-第3课时几何法、反证法ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析