目标函数最值的求法

各位老师，各位同学晚上好！四川营山双河中学何朝东3．3.2简单的线性规划问题复习：如何作二元一次不等式表示的平面区域？二元一次不等式组呢？直线定界；特殊点定域。不等式组找公共区域。引例•某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，（甲乙两种产品不可同时生产）该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？转探究问题（一）•（1）如何用不等式组表示问题中的限制条件？•（2）请画出不等式组所表示的平面区域。•（3）对照平面区域，你能说出该厂可能的日生产安排的几何意义是什么吗？解决问题（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：2841641200xyxyxy上一页（2）画出不等式组所表示的平面区域：Oxyx=4y=3x+2y-8=02841641200xyxyxy（3）将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。yx4843oM•探究问题（二）：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？若设利润为Z即求Z＝X+Y的最大值，若设工厂获得的利润为z，则z=2x+3y，即求z的最大值。讲授新课1.上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又叫线性约束条件.讲授新课1.上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又叫线性约束条件.线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示.讲授新课2.欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y叫做目标函数.讲授新课2.欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y叫做目标函数.由于z=2x+y又是x、y的一次解析式，所以又叫线性目标函数.讲授新课3.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.讲授新课3.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.4.满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.讲授新课3.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.4.满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.5.由所有可行解组成的集合叫做可行域.讲授新课3.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.4.满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.5.由所有可行解组成的集合叫做可行域.6.使目标函数取得最大值或最小值的可行解，它们都叫做这个问题的最优解.如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。Oxyx=4y=3x+2y-8=02841641200xyxyxy线性约束条件.可行域可行解线性规划问题探究问题（三）设工厂获得的利润为z，则z=2x+3y，——求z的最大值。思考：1、如果将目标函数看成关于变量x,y的方程，它的几何意义是什么？2、z的几何意义又是什么？3、z的值因谁的变化而变化？你又能得到什么启示不等式组所表示的平面区域：Oxy的直线表示3,32,332zbkzxyM所以当Z变化时，可以得到一组互相平行的直线，而且当截距z/3最大时，z取最大值。y=3x=4x+2y-8=0所以每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元M点是两条直线的交点，解方程组0824yxx得x=4y=2,此时2x+3y=145315,1,53.xyyxxy351ABxyo5315xy1yx53xy(1.5,2.5)(-2,-1)Zmax=17Zmin=-11求z=3x+5y的最大值和最小值,使x、y满足约束条件C3x+5y=0例1：351ABxyo5315xy1yx53xy(1.5,2.5)(-2,-1)C3x+5y=0变式1.若求z=x-2y的最大值和最小值呢？1222zzxyyx∴-z/2最小时，z最大-z/2最大时，z最小故过点C时，z最大，过点B时，z最小.zmax=3zmin=-3.5例2：变式2.使z=x-y取得最小值的最优解有几个?5315,1,53.xyyxxy注：1、目标函数z的最值与对应直线在y轴上的截距有关。2、目标函数的最优解有时是唯一的，有时是不唯一的，甚至是无穷多个。方法总结：解答线性规划问题的步骤：第一步：建立数学关系式；第二步：根据约束条件画出可行域；第三步：令目标函数z=0，作出对应的直线第四步：在可行域内平行移动直线；利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线从而找到最优解；第五步：求出目标函数的最大值或最小值.1.(2010年高卷天津卷)设变量x，y满足约束条件x＋y≤3，x－y≥－1，y≥1，则目标函数z＝4x＋2y的最大值为()A．12B．10C．8D．22．变式训练(2010年高考山东卷)设变量x、y满足约束条件x－y＋2≥0，x－5y＋10≤0，x＋y－8≤0，则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为()A．3，－11B．－3，－11C．11，－3D．11,33（全国）设变量x、y满足约束条件632xyyxxy，则目标函数yxz2的最小值为（）A．2B．3C．4D．94．(2011广东卷)已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．课堂练习：1.解析：选B.画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋z2，作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距z2最大，解方程组x＋y＝3y＝1得A(2,1)，∴zmax＝10.2.【解析】作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)，∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11.【答案】A注意：z与对应直线在y轴上截距的关系【解析】由约束条件画出可行域(如图)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax使直线在y轴上的截距最大．∴－a＜kCD，即－a＜－1，∴a＞1.【答案】a＞1知识小结：•1、熟悉本节有关概念。•2、简单线性规划问题的求解步骤。•3、需要注意的问题。求解线性规划问题需要注意：•1、主要过程是在图上完成的，所以作图是关键。•2、当心进入这种误区：直线在y轴上截距越大，z越大，直线在y轴上截距越小，z越小。•3、目标函数的最优解可以不唯一，甚至可能有无穷多个。•4、如果可行域是封闭的平面多边形，最优解必在多边形的某个顶点处取得。•5、注意概念的理解区分：可行解与可行域，最优解与最值。四、作业练习P911、2习题3.3A组3、B组：3