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第三节等比数列及其前n项和考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.等比数列的计算.2.等比数列的前n项和.3.等比数列的性质.1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定及通项公式、前n项和公式以及性质的应用.综合等比数列的通项公式、前n项和以及利用性质解题仍将是命题的热点，非“标准”的等比数列可能成为命题的新生长点.此外，与其他知识的综合也值得关注.知识点一等比数列的概念1.等比数列的定义(1)条件：一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比等于___________.(2)公比：是指常数，通常用字母q表示(q≠0).(3)定义表达式：_______(n∈N*，q≠0).同一个常数an＋1an＝q2.等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则其通项公式为_________(n∈N*).推广式：an＝amqn－m(n、m∈N*).3.等比中项如果________成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒________.an＝a1qn－1G2＝a·ba，G，b知识点二等比数列的前n项和及性质1.等比数列的前n项和公式(1)当公比q＝1时，Sn＝____；na1(2)当公比q≠1时，Sn＝___________=________.a1（1－qn）1－qa1－anq1－q2.等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝_______＝___；(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1).ap·aqa2r【名师助学】本部分知识可以归纳为：(1)三个定义：①等比数列的定义，②等比中项的定义，③等比数列的通项公式.(2)两种方法：证明数列是等比数列的两种方法：①定义法，②等比中项法.(3)两个公式：等比数列的前n项和公式：①Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q(q≠1)，②Sn＝na1(q＝1).方法1等比数列的性质的应用(1)等比数列的单调性设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.①当q1，a10或0q1，a10时，数列{an}为递增数列；②当q1，a10或0q1，a10时，数列{an}为递减数列；③当q＝1时，数列{an}是(非零)常数列；④当q＝－1时，数列{an}是摆动数列.(2)等比数列项的运算性质若m＋n＝p＋q(m，n，p，q，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a2k.②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….(3)等比数列前n项和的性质若Sn是等比数列的前n项和，则当q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列.【例1】(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1·a2·a3＝5，a7·a8·a9＝10，则a4·a5·a6＝()A.52B.7C.6D.42(2)已知等比数列{an}满足an0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于()A.n(2n－1)B.(n＋1)2C.n2D.(n－1)2[解题指导](1)已知：等比数列中项之间的关系：(1)问中a1a2a3＝5，a7·a8·a9＝10，(2)问中a5·a2n－5＝22n.(2)分析：通过等比数列的性质，将已知条件进行转化.(3)转化：(1)问中a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列；(2)问中a5·a2n－5＝a2n＝22n.解析(1)∵a1·a2·a3，a4·a5·a6，a7·a8·a9成等比数列，∴(a4·a5·a6)2＝(a1·a2·a3)(a7·a8·a9)＝50.又an0，∴a4·a5·a6＝52.(2)∵a5·a2n－5＝a2n＝22n且an0，∴an＝2n，∴a2n－1＝22n－1，∴log2a2n－1＝2n－1，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.答案(1)A(2)C[点评]在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组，求解方程组，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和“隐含”的条件.方法2等比数列的判定与证明(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列.(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列.(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列.(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列.提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.【例2】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列.(2)在(1)的条件下证明{an2n}是等差数列，并求an.[解题指导](1)利用Sn＋1＝4an＋2，寻找bn与bn－1的关系.(2)先求bn，再证明数列an2n是等差数列，最后求an.(1)证明由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.由Sn＋1＝4an＋2①知当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2②①－②得an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，∴{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列.(2)解由(1)可得bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴an＋12n＋1－an2n＝34，∴数列an2n是首项为12，公差为34的等差数列.∴an2n＝12＋(n－1)34＝34n－14，an＝(3n－1)·2n－2.[点评]在证明本题时，首先利用转化的思想，把Sn＋1＝4an＋2转化为an＋1与an的关系，然后作商bn＋1bn或bnbn－1，在作商时，无论使用bn＋1bn，还是bnbn－1，都要考虑比值中是否包含了b2b1这一项，这是很容易被忽视的地方.方法3等差与等比数列的综合问题(1)在等差数列中蕴含等比关系，由等差数列设出数列的项(突出a1，d)，利用等比数列列方程求解，同样等比数列中蕴含等差关系也如此解决.(2)两个数列，一个是等差数列，另一个是等比数列，要找到它们之间的联系，来解决实际问题.(3)解题时适当利用性质转化条件可简化运算.(4)挖掘隐含条件，发现等差(或等比)关系，使解题目的明确.【例3】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列.[解题指导]设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列{bn}的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问.(1)解设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去).故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.(2)证明数列{bn}的前n项和Sn＝54（1－2n）1－2＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2.所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.因此Sn＋54是以52为首项，2为公比的等比数列.[点评]关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件.容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量.