2016届高考数学大一轮复习 第5章 第3节 等比数列及其前n项和课件 文 新人教版

第三节等比数列及其前n项和考纲要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.3.掌握等比数列前n项和公式．[基础真题体验]考查角度[等比数列的基本量运算]1．(2013·课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()A．Sn＝2an－1B.Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an【解析】法一：在等比数列{an}中，Sn＝a1－anq1－q＝1－an·231－23＝3－2an.法二：在等比数列{an}中，a1＝1，q＝23，∴an＝1×23n－1＝23n－1.Sn＝1×1－23n1－23＝31－23n＝31－2323n－1＝3－2an.【答案】D2．(2013·课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A.13B．－13C.19D．－19【解析】设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，a1q4＝9，∴a1q2＝9a1，a1q4＝9，解得a1＝19，故选C.【答案】C3．(2013·北京高考)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝______；前n项和Sn＝________.【解析】设等比数例{an}的首项为a1，公比为q，则：由a2＋a4＝20得a1q(1＋q2)＝20.①由a3＋a5＝40得a1q2(1＋q2)＝40.②由①②解得q＝2，a1＝2.故Sn＝a11－qn1－q＝21－2n1－2＝2n＋1－2.【答案】2,2n＋1－2考查角度[等比数列的性质]4．(2014·广东高考)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.【解析】因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.【答案】50[命题规律预测]命题规律从近几年高考题看，等比数列是每年高考的热点内容，主要考查等比数列的通项公式，前n项和公式及它们的性质．各种题型均有可能出现，注重等比数列与相关知识的综合问题的考查，难度中档．考向预测预测2016年高考仍以等比数列知识为考查热点，客观题将会以等比数列的性质及基本量的运算为主，突出“小而巧”的特点，解答题注重考查函数与方程等价转化，分类讨论思想，备考时应予以重视.考向一等比数列的基本计算[典例剖析]【例1】(1)设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋，则数列{an}的前n项和Sn＝________.(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.【思路点拨】(1)用等比数列的前n项和公式求解．(2)用等比数列的通项公式列方程组求解．【解析】(1)由题意知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴Sn＝1－3n1－3＝12(3n－1)．(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a1q3－a1q＝6，a1q4－a1＝15，两式相除得，q1＋q2＝25，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12，∴a1＝1，q＝2或a1＝－16，q＝12，∴a3＝4或－4.【答案】(1)12(3n－1)(2)4或－4等比数列基本量计算的求解策略：(1)等比数列中有五个量a，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过方程组求解，在解方程组时要注意“相除”的消元思想，同时要注意整体代入的思想方法．(2)在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否为1进行判断和讨论．[对点练习](1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q＝()A．1B．－12C．1或－12D．－1或12(2)在等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m＝________.【解析】(1)由已知得a1q2＝7，a1＋a1q＋a1q2＝21，消去a1得1＋q＋q2q2＝3，∴2q2－q－1＝0.∴q＝1或－12.(2)∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q10，即am＝a1·q10，∴m＝11.【答案】(1)C(2)11考向二等比数列的判定与证明[典例剖析]【例2】(2014·课标全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明an＋12是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明1a1＋1a2＋…＋1an32.【思路点拨】(1)用定义法证明an＋12是等比数列并求通项公式．(2)将数列1an的每一项都放大，从而利用等比数列的求和公式证得不等式．【证明】(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋12＝3an＋12.又a1＋12＝32，所以an＋12是首项为32，公比为3的等比数列．an＋12＝3n2，因此{an}的通项公式为an＝3n－12.(2)由(1)知1an＝23n－1.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以13n－1≤12×3n－1.于是1a1＋1a2＋…＋1an≤1＋13＋…＋13n－1＝321－13n32.所以1a1＋1a2＋…＋1an32.1．证明数列是等比数列的两个基本方法(1)an＋1an＝q(与n值无关的常数)(n∈N*)；(2)a2n＋1＝anan＋2(n∈N*)．2．证明某一数列是等比数列，不能只证数列中某连续三项成等比数列．证明数列不是等比数列，可以通过数列中的三个连续项不成等比数列来证明，也可以用反证法．[对点练习](2013·福建高考)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是()A．数列{bn}为等差数列，公差为qmB．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm【解析】bn＝a1qm(n－1)＋a1qm(n－1)＋1＋…＋a1qm(n－1)＋m－1＝a1qm(n－1)(1＋q＋…＋qm－1)＝a1qm(n－1)·1－qm1－q，∴bn＋1bn＝a1qnm·1－qm1－qa1qmn－1·1－qm1－q＝qm，∴{bn}是等比数列，公比为qm.cn＝a1qm(n－1)·a1qm(n－1)＋1·…·a1qm(n－1)＋m－1＝am1qm2(n－1)＋mm－12，∴cn＋1cn＝am1qm2n＋1－1＋mm－12am1qm2n－1＋mm－12＝qm2.∴{cn}是等比数列，公比为qm2.【答案】C考向三等比数列的性质及应用[典例剖析]【例3】(1)(2014·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.【思路点拨】(1)用等比数列的性质及对数运算性质求解；(2)利用等比数列前n项和的性质求解．【解析】(1)log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log2a53＝5log2a3＝5log2a1a5＝5log22＝5.(2)由S10S5＝3132，a1＝－1知公比q≠1，S10－S5S5＝－132，由等比数列前n项和性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，∴q5＝－132，q＝－12.【答案】(1)5(2)－12等比数列相邻几项的积成等比数列，与首末项等距离的两项的积相等，等比中项的性质等是高考考查的重点，解此类问题时有两种思路，一是列方程求出基本量，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算比较繁琐；二是利用等比数列及其前n项和的性质求解，熟练掌握等比数列及其前n项和的常用性质能起到事半功倍的效果．[对点练习](1)(2014·大纲全国卷)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于()A．6B.5C．4D．3(2)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝________.【解析】(1)数列{lgan}的前8项和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)∵{an}是等比数列，∴am－1am＋1＝a2m，又am－1am＋1－2am＝0，∴a2m－2am＝0，∴am＝2，由等比数列的性质知前(2m－1)项的积T2m－1＝a2m－1m，即22m－1＝128，∴m＝4.【答案】(1)C(2)4思想方法11分类讨论思想在数列问题中的应用分类讨论的实质是将整体化为部分来解决．其求解原则是不复重，不遗漏，讨论的方法是逐类进行．在数列的学习中，也有多处知识涉及到分类讨论思想，具体如下所示：(1)前n项和Sn与其通项an的关系：an＝a1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2；(2)等比数列的公比q是否为1；(3)在利用公式Sn求和时，数列的项的个数为偶数还是奇数等等．求解以上问题的关键是找准讨论的切入点，分类求解．[典例剖析]【典例】(2014·山东高考)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.【解】(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×12×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋4×32×2＝4a1＋12，由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.(2)bn＝(－1)n－14nanan＋1＝(－1)n－14n2n－12n＋1＝(－1)n－112n－1＋12n＋1.当n为偶数时，Tn＝1＋13－13＋15＋…＋12n－3＋12n－1－12n－1＋12n＋1＝1－12n＋1＝2n2n＋1.当n为奇数时，Tn＝1＋13－13＋15＋…－12n－3＋12n－1＋12n－1＋12n＋1＝1＋12n＋1＝2n＋22n＋1.所以Tn＝2n＋22n＋1，n为奇数，2n2n＋1，n为偶数，或Tn＝2n＋1＋－1n－12n＋1[对点练习](2013·天津高考)已知首项为32的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－1Sn(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．【解】(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝a5a3＝14.又{an}不是递减数列且a1＝32，所以q＝－12.故等比数列{an}的通项公式为an＝32×－12n－1＝(－1)n－1·32n.(2)由(1