搜索
§4.1三角函数、同角三角函数与诱导公式(见学生用书P66)1.任意角、弧度制了解任意角和弧度的概念,能正确进行弧度与角度的换算.2.任意角的三角函数(1)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.(2)掌握判断三角函数值的符号的规律,熟记特殊角的三角函数值.3.三角函数线掌握正弦线、余弦线、正切线的概念.4.同角三角函数基本关系式理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,sin𝛼cos𝛼=tanα.5.诱导公式利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.一、利用单位圆定义任意角的三角函数设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sinα=y,cosα=x,tanα=𝑦𝑥.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r=𝑎2+𝑏20.过P作x轴的垂线,垂足为M,则sinα=𝑏𝑟,cosα=𝑎𝑟,tanα=𝑏𝑎.1.一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关,即角α与β=k·360°+α(k∈Z)的同名三角函数值相等.2.在计算或化简三角函数关系式时,常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.二、三角函数线如下图,设角α的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴,垂足为M,过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线交于点T.三角函数线(1)(2)(3)(4)有向线段MP为正弦线;有向线段OM为余弦线;有向线段AT为正切线从图形角度考查任意角的三角函数,即用有向线段表示三角函数值,注意是有向线段,与x轴、y轴正向相同为正,相反为负,P,M,T,A都是指定的点.三、同角三角函数基本关系式(1)平方关系:sin2α+cos2α=1;(2)商数关系:sin𝛼cos𝛼=tanα.四、诱导公式组数一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα-cosαcosα-cosαsinα-sinα正切tanαtanα-tanα-tanα口诀奇变偶不变,符号看象限诱导公式可概括为k·π2±α(k∈Z)的形式.记忆规律是“奇变偶不变,符号看象限”.其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化;符号看象限指的是把α看成锐角时原函数值的符号.1.1920°转化为弧度数为().A.163B.323C.16π3D.32π31920°=1920×π180rad=32π3rad.D2.cos(2014π3)的值为().A.-12B.32C.12D.-32cos(2014π3)=cos(670π+4π3)=cos4π3=cos(π+π3)=-cosπ3=-12.A3.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,则扇形的中心角的弧度数是().A.1B.4C.1或4D.2或4设此扇形的半径为r,弧长是l,则2𝑟+𝑙=6,12rl=2,解得𝑟=1,𝑙=4或𝑟=2,𝑙=2.由α=𝑙𝑟,得α=41=4或α=22=1.C4.设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cosα=𝑥5,则sinα=().A.45B.-35C.35D.-45由r=𝑥2+42,cosα=𝑥5=𝑥𝑥2+42,得x=3或x=-3,又因为α是第二象限角,则取x=-3,r=5,所以sinα=45.A5.已知sin(α+π2)=13,且α∈(0,π2),则tanα=.因为sin(α+π2)=cosα=13,α∈(0,π2),所以sinα=1-cos2α=1-19=223,所以tanα=sin𝛼cos𝛼=22.22(见学生用书P67)1.三角函数的定义及应用(5年1考)2.三角函数的符号(5年2考)3.弧长公式、扇形面积公式(5年1考)4.同角三角函数的基本关系式(5年4考)5.诱导公式(5年3考)1.考查三角函数定义、符号及应用(1)(2014年全国卷大纲版)已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα=().A.45B.35C.-35D.-45(2)(2014年新课标全国Ⅰ卷)若tanα0,则().A.sinα0B.cosα0C.sin2α0D.cos2α0(1)∵角α的终边经过点(-4,3),∴x=-4,y=3,r=5,∴cosα=𝑥𝑟=-45.(2)∵tanα0,∴α∈(kπ,kπ+π2)(k∈Z)是第一、三象限角.∴sinα,cosα都可正、可负,排除A,B.而2α∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z),结合正、余弦函数图象可知,C正确.取α=π4,则tanα=10,而cos2α=0,故D不正确.(1)D(2)C2.考查利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简求值(1)(2013年广东卷)已知sin(5π2+α)=15,那么cosα=().A.-25B.-15C.15D.25(2)(2012年辽宁卷)已知sinα-cosα=2,α∈(0,π),则tanα=().A.-1B.-22C.22D.1(1)sin(5π2+α)=15⇒sin(π2+α)=15⇒cosα=15.(2)将sinα-cosα=2平方,得2sinαcosα=-1,即2sin𝛼cos𝛼sin2α+cos2α=-1,即2tan𝛼1+tan2α=-1,所以tanα=-1.(1)C(2)A(2011年江西卷)如右图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的图形大致是().如图,建立直角坐标系,由题意可知,小圆O1总与大圆O相内切,且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A,此时动点M所处位置为点M'.则大圆圆弧𝐴𝑀与小圆圆弧𝐴𝑀'相等.以切点A在第三象限为例,记直线OM与此时小圆O1的交点为M1,记∠AOM=θ,则∠OM1O1=∠M1OO1=θ,故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ.大圆圆弧𝐴𝑀的长为l1=θ×2=2θ,小圆圆弧𝐴𝑀1的长为l2=2θ×1=2θ,即l1=l2,所以小圆的两段圆弧𝐴𝑀'与𝐴𝑀1的长相等,故点M1与点M'重合,即动点M在线段MO上运动,同理可知,此时点N在线段OB上运动.点A在其他象限类似可得,M,N的轨迹为相互垂直的线段.观察各选项,只有选项A符合.A新概念的引入不仅要求能深入理解新概念的信息,而且要能够调出已学习过的“旧”概念,进行相互对照.此类考题的关键在于一个“新”字,即背景新、概念新、题型新.解题时不要被“新”所迷惑,在理解与领会该概念后,掩藏在“新”的外衣下的往往是极为简单的知识点.(见学生用书P68)题型一三角函数定义的应用(1)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cosα=-45,则m的值为().A.-12B.12C.-32D.32(2)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则2sinα+cosα=.(1)由余弦函数的定义列出关于m的方程,解之即可;(2)对角α的终边所在位置进行分类讨论.(1)∵-6sin30°=-6×12=-3,∴r=64𝑚2+9,∴cosα=-8𝑚64𝑚2+9=-45,∴m0,∴4𝑚264𝑚2+9=125,即m=12.(2)∵角α的终边在直线3x+4y=0上,∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),则x=4t,y=-3t,r=𝑥2+𝑦2=(4𝑡)2+(-3t)2=5|t|.当t0时,r=5t,sinα=𝑦𝑟=-3𝑡5𝑡=-35,cosα=𝑥𝑟=4𝑡5𝑡=45,此时,2sinα+cosα=2×(-35)+45=-25;当t0时,r=-5t,sinα=𝑦𝑟=-3𝑡-5𝑡=35,cosα=𝑥𝑟=4𝑡-5𝑡=-45,此时,2sinα+cosα=2×35+(-45)=25.综上所述,2sinα+cosα的值等于25或-25.(1)B(2)25或-25利用三角函数的定义,求一个角的三角函数,需要确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意,当点的坐标含有参数时,应分类讨论.(1)点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达点Q,则点Q的坐标为().A.(-12,32)B.(-32,-12)C.(-12,-32)D.(-32,12)(2)已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在直线y=3x上,则cosθ=().A.110B.310C.310或-310D.110或-110(1)由三角函数定义可知Q点的坐标(x,y)满足x=cos2π3=-12,y=sin2π3=32.(2)由已知条件知,当终边落在第一象限时,在直线y=3x上取一点P(1,3),则cosθ=110.当终边落在第三象限时,在直线y=3x上取一点P(-1,-3),则cosθ=-110.故选D.(1)A(2)D题型二同角三角函数关系的应用已知0απ2,若cosα-sinα=-55,试求2sin𝛼cos𝛼-cos𝛼+11-tan𝛼的值.根据“cosα-sinα=-55”这一条件,结合平方关系式,联立即可求解.∵cosα-sinα=-55,∴1-2sinα·cosα=15,∴2sinα·cosα=45,∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+45=95.∵0απ2,∴sinα+cosα=355,与cosα-sinα=-55联立,解得cosα=55,sinα=255.∴2sin𝛼cos𝛼-cos𝛼+11-tan𝛼=cos𝛼(2sin𝛼cos𝛼-cos𝛼+1)cos𝛼-sin𝛼=55×(45-55+1)-55=55-95.此题涉及方程与消元思想,应试者必须具有熟练的数学运算能力.由于角已经限制,三角函数值的符号判断要容易得多.(1)已知1+sin𝑥cos𝑥=-12,那么cos𝑥sin𝑥-1的值是().A.12B.-12C.2D.-2(2)已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于().A.-43B.54C.-34D.45(1)由于1+sin𝑥cos𝑥·sin𝑥-1cos𝑥=sin2x-1cos2x=-1,故cos𝑥sin𝑥-1=12.(2)sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=sin2θ+sin𝜃cos𝜃-2cos2θsin2θ+cos2θ=sin2θcos2θ+sin𝜃cos𝜃cos2θ-2sin2θcos2θ+1=tan2θ+tan𝜃-2tan2θ+1=22+2-222+1=45.(1)A(2)D题型三诱导公式的应用(1)已知πα2π,cos(α-7π)=-35,则sin(3π+α)·tan(α-72π)的值为.(2)已知sin(π3-x)=35,则cos(x+π6)=.(1)先化简已知,求出cosα的值,然后运用诱导公式化简并代入求值;(2)将π3+x看作一个整体,观察π3-x与x+π6的关系.(1)∵cos(α-7π)=cos(7π-α)=cos(π-α)=-cosα=-35,∴cosα=35.∴sin(3π+α)·tan(α-72π)=sin(π+α)·[-tan(72π-α)]=sinα·tan(π2-α)=sinα·sin(π2-α)cos(π2-α)=sinα·cos𝛼sin𝛼=cosα=35.(2)∵(π3-x)+(x+π6)=π2,∴cos(x+π6)=cos[π2-(π3-x)]=sin(π3-x)=35.(1)35(2)35在利用诱导公式求值时,一般要先化简,再根据条件求值,掌握诱导公式的关键是对“函数名称”和“正负号”的正确判断.另外,诱导公式的应用非常灵活,可以正用、逆用和变形应用,但是要尽量避开平方关系.(1)点A(sin2016°,cos2016°)在直角坐标平面上位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)已知cos(π6+α)=33,则cos(5π6-α)