2014届高三数学一轮复习 第21讲 简单的三角恒等变换课件 理 新人教版

第21讲简单的三角恒等变换1．(2013·兰州模拟)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，则β＝.解析：因为0βαπ2，所以0α－βπ2.又cosα＝17，cos(α－β)＝1314，所以sinα＝437，sin(α－β)＝3314，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝17×1314＋437×3314＝12.又0βπ2，所以β＝π3.2．化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝.解析：原式＝122cos2x－12sinπ4－xcosπ4－x·sin2π4＋x＝12cos22x2cosπ4＋xsinπ4＋x·sin2π4＋x＝12cos22xsinπ2＋2x＝12cos22xcos2x＝12cos2x.3．求证：1tanα2－tanα2＝2sin2α1－cos2α.证明：左边＝cosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2·cosα2＝cosα12sinα＝2tanα.右边＝2sin2α1－cos2α＝4sinα·cosα2sin2α＝2tanα，所以1tanα2－tanα2＝2sin2α1－cos2α.一条件求值与化简【例1】(1)(2012·浙江省第二次五校联考)若α∈(π2，π)，且3cos2α＝sin(π4－α)，则sin2α的值为()A.118B．－118C.1718D．－1718(2)(2012·山东省日照市高三上)已知cosα＝－45，α∈(π2，π)，则tan(π4＋α)等于________．解析：(1)cos2α＝sin(π2－2α)＝2sin(π4－α)cos(π4－α)，代入上式，得cos(π4－α)＝16，展开得sinα＋cosα＝26，上式平方，得2sinαcosα＝－1718，故选D.(2)因为cosα＝－45，α∈(π2，π)，所以sinα＝1－cos2α＝35，所以tanα＝－34，从而tan(π4＋α)＝1＋tanα1－tanα＝17.【拓展演练1】(1)(2012·西安市第一次模拟)已知sinα＝12＋cosα，且α∈(0，π2)，则cos2αsinα－π4的值为；(2)(2013·江苏省信息卷)已知sin(45°－α)＝210(0°α90°)，则cosα＝.解析：(1)由已知得sinα－cosα＝12，两边平方得2sinαcosα＝34，又α∈(0，π2)，sinα＋cosα＝sinα＋cosα2＝1＋2sinαcosα＝1＋34＝72，于是cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα＝－2(sinα＋cosα)＝－142.(2)依题意得45°－α∈(－45°，45°)，则cos(45°－α)＝1－sin245°－α＝7210，所以cosα＝cos[45°－(45°－α)]＝22×7210＋22×210＝45.二无条件求值与化简【例2】(1)(改编)计算：3tan12°－3sin12°4cos212°－2＝_______.(2)(改编)化简：sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°－tan218°－tan23°1＋tan38°tan203°.解析：(1)原式＝3sin12°－3cos12°2cos12°sin12°2cos212°－1＝2312sin12°－32cos12°sin24°cos24°＝23sin12°－60°12sin48°＝－43.(2)原式＝sin15°－8°＋cos15°sin8°cos15°－8°－sin15°sin8°－tan38°－tan23°1＋tan38°tan23°＝sin15°cos8°－cos15°sin8°＋cos15°sin8°cos15°cos8°＋sin15°sin8°－sin15°sin8°－tan(38°－23°)＝sin15°cos8°cos15°cos8°－tan15°＝tan15°－tan15°＝0.【拓展演练2】(1)化简：2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α＝()A．1B．－1C．cosαD．－sinα(2)计算：1sin10°－3sin80°＝.解析：(1)原式＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α·sin2π4＋α＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α＝cos2αsinπ2－2α＝1.(2)原式＝1sin10°－3cos10°＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2cos10°＋60°12sin20°＝4.三三角恒等式的证明【例3】证明：2－2sinα＋3π4cosα＋π4cos4α－sin4α＝1＋tanα1－tanα.证明：左边＝2－2cos2α＋π4cos2α－sin2α＝2sin2α＋π4cos2α－sin2α＝1－cos2α＋π2cos2α－sin2α＝1＋sin2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosαcos2α－sin2α＝cosα＋sinα2cosα－sinαcosα＋sinα＝cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα＝右边．故等式成立．【拓展演练3】(1)求证：sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα；(2)求证：tan2x＋1tan2x＝23＋cos4x1－cos4x.证明：(1)左边＝sin[α＋β＋α]sinα－2cosα＋βsinαsinα＝sinα＋βcosα＋cosα＋βsinα－2cosα＋βsinαsinα＝sinα＋βcosα－cosα＋βsinαsinα＝sinα＋β－αsinα＝sinβsinα＝右边．故等式成立．(2)左边＝sin2xcos2x＋cos2xsin2x＝sin4x＋cos4xsin2xcos2x＝sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x14sin22x＝1－12sin22x14sin22x＝1－12sin22x181－cos4x＝8－4sin22x1－cos4x＝4＋4cos22x1－cos4x＝4＋21＋cos4x1－cos4x＝23＋cos4x1－cos4x＝右边，所以等式成立．1.(2012·重庆卷)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3A解析：因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝31－2＝－3.2.(2011·浙江卷)若0απ2，－π2β0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝()A.33B．－33C.539D．－69C解析：由cos(π4＋α)＝13，π4π4＋α3π4，可得sin(π4＋α)＝223.由cos(π4－β2)＝33，π4π4－β2π2，可得sin(π4－β2)＝63，所以cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝13×33＋223×63＝539.3.(2013·重庆卷)4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1C解析：4cos50°－tan40°＝4sin40°·cos40°－sin40°cos40°＝2cos10°－sin30°＋10°cos40°＝332cos10°－12sin10°cos40°＝3.故选C.4.(2013·湖南卷)已知函数f(x)＝sin(x－π6)＋cos(x－π3)，g(x)＝2sin2x2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝335，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．解析：因为f(x)＝32sinx－12cosx＋12cosx＋32sinx＝3sinx.(1)因为α是第一象限角，f(α)＝335，所以sinα＝35，cosα＝45，所以g(α)＝2sin2α2＝1－cosα＝15.(2)由f(x)≥g(x)，有3sinx≥1－cosx，所以3sinx＋cosx≥1，所以sin(x＋π6)≥12，所以2kπ＋π6≤x＋π6≤2kπ＋5π6(k∈Z)，所以2kπ≤x≤2kπ＋2π3(k∈Z)，所以使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合是{x|2kπ≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z}．