2014届高三数学一轮复习 第八章 第三节 圆的方程课件 理 新人教A版

整理文档很辛苦,赏杯茶钱您下走!

免费阅读已结束,点击下载阅读编辑剩下 ...

阅读已结束,您可以下载文档离线阅读编辑

资源描述

第三节圆的方程1.圆的定义在平面内,到定点的距离等于_____的点的集合叫做圆.确定一个圆最基本的要素是______和______.2.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中_____为圆心,为半径.特别地,当圆心在原点时,圆的方程为__________.3.圆的一般方程对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.(1)当_________________时,表示圆心为(-D2,-E2),半径为12D2+E2-4F的圆;定长圆心半径(a,b)x2+y2=r2D2+E2-4F>0r(2)当_______________时,表示一个点(-D2,-E2);(3)当_______________时,它不表示任何图形.4.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系(1)若M(x0,y0)在圆外,则___________________.(2)若M(x0,y0)在圆上,则___________________.(3)若M(x0,y0)在圆内,则___________________.D2+E2-4F=0D2+E2-4F<0(x0-a)2+(y0-b)2>r2(x0-a)2+(y0-b)2=r2(x0-a)2+(y0-b)2<r21.确定圆的方程必须有几个独立条件?【提示】不论圆的标准方程还是一般方程,都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定,因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组,解之得到待定字母系数的值.2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是什么?【提示】充要条件是D2+E2-4F>0.【答案】D1.(人教A版教材习题改编)圆的方程为x2+y2+2by-2b2=0,则圆的圆心和半径分别为()A.(0,b),3bB.(0,b),3|b|C.(0,-b),3bD.(0,-b),3|b|【解析】圆的标准方程为x2+(y+b)2=3b2,从而圆的圆心坐标为(0,-b),半径为3|b|.【答案】D2.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是()A.a<-2或a>23B.-23<a<0C.-2<a<0D.-2<a<23【解析】由题意知a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,解得-2<a<23.3.(2012·辽宁高考)将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0D.x-y+3=0【解析】因为圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.【答案】C4.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程为________.【答案】(x-2)2+y2=10【解析】设圆心坐标为(a,0),易知(a-5)2+(-1)2=(a-1)2+(-3)2,解得a=2,∴圆心为(2,0),半径为10,∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.已知圆心在直线y=-4x,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),求圆的方程.【思路点拨】(1)设圆的标准方程,待定系数法求解;(2)利用圆的几何性质求圆心和半径.【尝试解答】法一设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则有b=-4a,(3-a)2+(-2-b)2=r2,|a+b-1|2=r,解得a=1,b=-4,r=22.∴圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.法二过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4).∴半径r=22,∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.用“待定系数法”求圆的方程.①若已知条件与圆的圆心和半径有关,则设圆的标准方程,列出关于a,b,r的方程组求解.②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径,则选择圆的一般方程,列出关于D,E,F的方程组求解.(2)几何法:通过研究圆的性质,直线和圆的关系等求出圆心、半径,进而写出圆的标准方程.若一三角形三边所在的直线分别为x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4=0,则能覆盖此三角形且面积最小的圆的方程是________.【解析】结合题意,解得三角形的三个顶点分别是(1,2),(2,2),(3,1),作出图形可知三角形是以(1,2),(3,1)两顶点的连线为最长边的钝角三角形.所以圆的直径为d=5,圆心坐标为(2,32),则圆的方程为(x-2)2+(y-32)2=54.【答案】(x-2)2+(y-32)2=54【思路点拨】根据代数式的几何意义,借助于平面几何知识,数形结合求解.已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求yx的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.【尝试解答】(1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆,yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率.所以设yx=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时|2k-0|k2+1=3,解得k=±3.所以yx的最大值为3,最小值为-3.(2)设y-x=b,y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时|2-0+b|2=3,解得b=-2±6.所以y-x的最大值为-2+6,最小值为-2-6.(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为(2-0)2+(0-0)2=2,所以x2+y2的最大值是(2+3)2=7+43,x2+y2的最小值是(2-3)2=7-43.与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:(1)形如u=y-bx-a型的最值问题,可转化为过点(a,b)和(x,y)的直线的斜率的最值问题;(2)形如t=ax+by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题.若本例中的条件不变.(1)求y+2x+1的最大值和最小值;(2)求x-2y的最大值和最小值.【解】(1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.y+2x+1的几何意义是圆上一点与(-1,-2)连线的斜率,设y+2x+1=k,即y+2=k(x+1).当此直线与圆相切时,斜率k取得最大值或最小值,此时|2k+k-2|k2+1=3,解得k=6+306或k=6-306.∴y+2x+1的最大值为6+306,最小值为6-306.(2)x-2y可看作是直线x-2y=b在x轴上的截距,当直线与圆相切时,b取得最大值或最小值.此时:|2-b|5=3,∴b=2+15或b=2-15.∴x-2y的最大值为2+15,最小值为2-15.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,点O是坐标原点,以OM、ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.【思路点拨】四边形MONP为平行四边形⇒OP→=OM→+ON→⇒把点P的坐标转移到动点N上⇒而点N在圆上运动,故可求解.需注意O、M、N三点共线的情况.【尝试解答】∵四边形MONP为平行四边形,∴OP→=OM→+ON→,设点P(x,y),点N(x0,y0),则ON→=OP→-OM→=(x,y)-(-3,4)=(x+3,y-4).又点N在圆x2+y2=4上运动,∴(x+3)2+(y-4)2=4.又当OM与ON共线时,O、M、N、P构不成平行四边形.故动点P的轨迹是圆且除去点(-95,125)和(-215,285).1.本例中点P是平行四边形MONP的一个顶点,因此在点M、O、N三点共线时,点P是不存在的,故所求的轨迹中应除去两点.2.求与圆有关的轨迹问题的常用方法:直接法;定义法;相关点法已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,求这些弦的中点P的轨迹方程.【解】法一直接法设P(x,y),圆心C(1,1),∵P点是过点A的弦的中点,∴PA→⊥PC→,又PA→=(2-x,3-y),PC→=(1-x,1-y),∴(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0,即(x-32)2+(y-2)2=54,∴中点P的轨迹方程是(x-32)2+(y-2)2=54.法二定义法由已知得,PA⊥PC.由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上,圆心C(1,1),∴|AC|=(2-1)2+(3-1)2=5,线段AC的中点坐标为(32,2),故中点P的轨迹方程为(x-32)2+(y-2)2=54.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0.求圆的方程主要是待定系数法,一般步骤是:①根据题意,选择标准方程或一般方程.②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组.③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.1.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.2.求与圆有关的轨迹问题常用的方法有:(1)直接法:直接根据条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线的定义列出方程.(3)几何法:利用圆与圆的几何性质列出方程.(4)代入法:由动点与已知点的关系列出方程.从近两年高考看,圆的方程的求法每年均有涉及,是高考的必考点,命题形式主要有两大类,一是以选择题、填空题的形式考查圆的定义及标准方程的求法,另一类是与直线、向量、圆锥曲线综合命题,注重数形结合思想及圆的几何性质的考查,在求解与圆有关的解答题时,应注意解题的规范化.规范解答之十三利用待定系数法求圆的方程(12分)(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.【规范解答】(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+22,0),(3-22,0).故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(22)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为32+(t-1)2=3.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.·····6分(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:x-y+a=0,(x-3)2+(y-1)2=9.消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0.从而x1+x2=4-a,x1x2=a2-2a+12.①···8分由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②······10分由①,②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.···12分【解题程序】第一步:求出二次函数图象与坐标轴的三个交点坐标;第二步:求出圆的标准方程;第三步:联立直线与圆的方程,设出点A、B坐标;第四步:结合韦达定理,由条件OA⊥OB列出关系式,求出a值.易错提示:(1)第(1)小题中,求过三点的圆的方程时,选择方法不恰当,造成构建的方程组过于复杂,导致求解失误.(2)第(2)小题中,不能充分利用一元二次方程根与系数的关系,由条件列出等式.防范措施:(1)若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程,通常选用圆的标准方程;若已知条件为圆经过三点,一般采用一般式.(2)解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质;但也要理解掌握一般的代数法,利用“设而不求”的方法技巧.1.(2012·湖北高考)过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为()A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=0【解析】当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时,符合条件.圆心O与P点连线的斜率k=1,∴直线OP垂直于x+y-2=0.【答案】A2.(2013·珠海模拟)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(-1,0)、B(1,

1 / 36
下载文档,编辑使用

©2015-2020 m.777doc.com 三七文档.

备案号:鲁ICP备2024069028号-1 客服联系 QQ:2149211541

×
保存成功