2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：4.4数系的扩充与复数

[知识能否忆起]一、复数的有关概念1．复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的和．若，则a＋bi为实数；若，则a＋bi为虚数；若，则a＋bi为纯虚数．实部虚部b＝0b≠0a＝0，b≠02．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔_____________(a，b，c，d∈R)．4．复数的模：向量OZ的长度叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.a2＋b2a＝c，b＋d＝0a＝c，b＝d二、复数的几何意义1．复平面的概念：用直角坐标平面内的点来表示复数时，这个为复平面．2．实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫作，y轴叫作，实轴上的点都表示；除原点以外，虚轴上的点都表示．直角坐标平面实轴实数纯虚数虚轴3．复数的几何表示：复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点一一对应平面向量OZ.Z(a，b)三、复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝；(4)除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝(c＋di≠0)．ac＋bd＋bc－adic2＋d2(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i[动漫演示更形象，见配套课件]2．复数加法、乘法的运算律：(1)复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝，(z1＋z2)＋z3＝．z2＋z1z1＋(z2＋z3)(2)复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝，(z1·z2)·z3＝，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.z2·z1z1·(z2·z3)[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知a∈R，i为虚数单位，若(1－2i)(a＋i)为纯虚数，则a的值等于()A．－6B．－2C．2D．6解析：由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数，得a＋2＝0，1－2a≠0，由此解得a＝－2.答案：B2．(2011·湖南高考)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)I＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1D．a＝1，b＝－1解析：由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根据两复数相等的充要条件得a＝1，b＝－1.答案：D3．(2012·天津高考)i是虚数单位，复数5＋3i4－i＝()A．1－iB．－1＋iC．1＋iD．－1－i解析：5＋3i4－i＝5＋3i4＋i4－i4＋i＝20＋5i＋12i＋3i216－i2＝17＋17i17＝1＋i.答案：C4．若复数z满足z1＋i＝2i，则z对应的点位于第________象限．解析：z＝2i(1＋i)＝－2＋2i，因此z对应的点为(－2,2)，在第二象限内．答案：二5．若复数z满足z＋i＝3＋ii，则|z|＝________.解析：因为z＝3＋ii－i＝1－3i－i＝1－4i，则|z|＝17.答案：171.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意(1)|z|＝|z－0|＝a(a0)表示复数z对应的点到原点的距离为a；(2)|z－z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．2．复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：①z＝a＋bi∈Rb＝0(a，b∈R)；②z∈Rz＝z.(2)证明复数是纯虚数的策略：①z＝a＋bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0(a，b∈R)；②b≠0时，z－z＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z＋z＝0且z≠0.复数的有关概念[例1](1)(2011·安徽高考)设i是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－12D.12(2)(2012·郑州质检)如果复数2－bi1＋2i(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于()A．－23B.23C.2D．2[自主解答](1)法一：因为1＋ai2－i＝1＋ai2＋i2－i2＋i＝2－a＋2a＋1i5为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2.法二：因为1＋ai2－i＝ia－i2－i为纯虚数，所以a＝2.(2)2－bi1＋2i＝2－bi1－2i1＋2i1－2i＝2－2b－4＋bi5，依题意有2－2b＝4＋b，解得b＝－23.[答案](1)A(2)A本题例1(1)中复数1＋ai2－i为实数，求a的值．解：由例题知1＋ai2－i＝2－a＋2a＋1i5，因此2a＋1＝0，即a＝－12.处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z＝a＋bi(a，b∈R)由它的实部与虚部唯一确定，故复数z与点Z(a，b)相对应．1．(2013·东北模拟)已知x1＋i＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为()A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i解析：依题意得x＝(1＋i)(1－yi)＝(1＋y)＋(1－y)i；又x，y∈R，于是有x＝1＋y，1－y＝0，解得x＝2，y＝1.x＋yi＝2＋i，因此x＋yi的共轭复数是2－i.答案:D复数的几何意义A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[例2](2012·山西四校联考)已知复数z的实部为－1，虚部为2，则2－iz(i为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为()[答案]C[自主解答]依题意得2－iz＝2－i－1＋2i＝2－i－1－2i－1＋2i－1－2i＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是－45，－35，位于第三象限．复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．2．(1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i(2)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是()A．EB．FC．GD．H解析：(1)复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2，4)，故点C对应的复数为2＋4i.(2)依题意得z＝3＋i，z1＋i＝3＋i1＋i＝3＋i1－i1＋i1－i＝4－2i2＝2－i，该复数对应的点的坐标是(2，－1)．答案：(1)C(2)D复数的代数运算[例3](1)(2012·山东高考)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i(2)(2011·重庆高考)复数i2＋i3＋i41－i＝()A．－12－12iB．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i[答案](1)A(2)C[自主解答](1)z＝11＋7i2－i＝11＋7i2＋i2－i2＋i＝15＋25i5＝3＋5i.(2)i2＋i3＋i41－i＝－1＋－i＋11－i＝－i1－i＝－i1＋i1－i1＋i＝1－i2＝12－12i.1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i；③1－i1＋i＝－i；④a＋bii＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．3．(1)(2012·深圳模拟)复数z1＝3＋4i，z2＝1＋i，i为虚数单位，若z22＝z·z1，则复数z等于()(2)(2011·湖北高考)i为虚数单位，则1＋i1－i2011＝()A．－iB．－1C．iD．1A．－825＋625iB．－825－625iC.825＋625iD.825－625i解析：(1)∵z22＝z·z1，∴z＝z22z1＝1＋i23＋4i＝2i3＋4i＝2i3－4i25＝825＋625i.(2)因为1＋i1－i＝1＋i1＋i2＝i，所以原式＝i2011＝i4×502＋3＝i3＝－i.答案：(1)C(2)A[典例](2012·安徽高考)复数z满足(z－i)i＝2＋i，则z＝()A．－1－iB．1－iC．－1＋3iD．1－2i[常规解法]法一：∵(z－i)i＝2＋i，z－i＝2＋ii＝1－2i.∴z＝1－i.[答案]B法二：zi＋1＝2＋i，z＝i＋1i＝1－i.1．解答本题可以利用待定系数法，即先把x，y用复数的形式表示出来，利用复数相等求出x，y的值，这是解决复数问题的一种思想方法．本节例3(1)也可利用这种方法．2．明确复数相等的充要条件为实部与实部、虚部与虚部分别相等，这是将复数问题转化为实数问题的依据．[巧思妙解]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(z－i)i＝－b＋1＋ai＝2＋i，由复数相等的概念可知，－b＋1＝2，a＝1，所以a＝1，b＝－1.故答案为B.针对训练(2011·江苏高考)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的实部是________．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则i(z＋1)＝i(a＋1＋bi)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，所以a＝1，b＝3，复数z的实部是1.答案：1教师备选题（给有能力的学生加餐）1．(2012·上海高考)若1＋2i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则()A．b＝2，c＝3B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1D．b＝2，c＝－1解题训练要高效见“课时跟踪检测（二十九）”解析：由题意可得(1＋2i)2＋b(1＋2i)＋c＝0⇒－1＋b＋c＋(22＋2b)i＝0，所以－1＋b＋c＝0，22＋2b＝0⇒b＝－2，c＝3.答案：B2．已知复数z满足z－53＋4i3＋4i－2＋i＝2i，则复数z对应的复平面内的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由z－53＋4i3＋4i－2＋i＝2i，得z＝3－4i3＋4i，故z＝3－4i3＋4i＝3－4i23－4i3＋4i＝－7－24i25，对应的复平面内的点为－725，－2425.答案：C3．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()A．|z－z|＝2yB．z2＝x2＋y2C．|z－z|≥2xD．|z|≤|x|＋|y|解析：∵z－z＝2yi，∴|z－z|＝2|y|，选项A、C错误；而z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi，选项B错误；而|z|＝x2＋y2，|z|2＝x2＋y2，(|x|＋|y|)2＝x2＋y2＋2|xy|≥x2＋y2，因此|z|≤|x|＋|y|.答案：D4．(2012·江苏高考)设a，b∈R，a＋bi＝11－7i1－2i(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．答案：8解析：∵a＋bi＝11－7i1－2i＝11－7i1＋2i5＝5＋3i，∴a＝5，b＝3，故a＋b＝8.5．设z是虚数，ω＝z＋1z，且－1ω2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；(2)设u＝1－z1＋z，求证：u为纯虚数．解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，ω＝a＋bi＋1a＋bi＝a＋aa2＋b2＋b－ba2＋b2i，∵ω是实数，∴b－ba2＋b2＝0.又b≠0，∴a2＋b2＝1