2014届高三数学一轮复习专讲专练4.6 简单的三角恒等变换

第四章三角函数、三角恒等变换、解三角形§4.6简单的三角恒等变换01教材回扣02考点分类03课堂内外双基限时练[高考调研明确考向]考纲解读考情分析•能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).•利用公式变换，进行三角函数式的化简是本节考查的热点．•常与实际应用问题、函数等结合命题．•主要以解答题的形式进行考查.01教材回扣自主学习必考必记,学教相长知识梳理1.半角公式(1)用cosα表示sin2α2，cos2α2，tan2α2.sin2α2＝□1______；cos2α2＝□2______；tan2α2＝□3______.(2)用cosα表示sinα2，cosα2，tanα2.sinα2＝□4______；cosα2＝□5______；tanα2＝□6______.(3)用sinα，cosα表示tanα2.tanα2＝sinα1＋cosα＝□7________.2．形如asinx＋bcosx的化简asinx＋bcosx＝□8________，其中tanφ＝ba.答案：□11－cosα2□21＋cosα2□31－cosα1＋cosα□4±1－cosα2□5±1＋cosα2□6±1－cosα1＋cosα□71－cosαsinα□8a2＋b2sin(x＋φ)名师微博●两个原则三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．●五个要求①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．●四种方法三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.基础自测1.已知πα2π，则cosα2等于()A．－1－cosα2B.1－cosα2C．－1＋cosα2D.1＋cosα2解析：∵πα2π，∴π2α2π.∴cosα20.∴cosα2＝－1＋cosα2.答案：C2．已知sinπ6－α＝13，则cos2π3＋2α的值是()A．－79B．－13C.13D.79解析：cos2π3＋2α＝－cosπ3－2α＝－cos2π6－α＝－1－2sin2π6－α＝－79.答案：A3．定义运算a⊕b＝a2－ab－b2，则sinπ6⊕cosπ6＝()A．－12－34B．－12＋34C．－12D.34解析：sinπ6⊕cosπ6＝sin2π6－sinπ6cosπ6－cos2π6＝－12－34.答案：A4．已知角α在第一象限且cosα＝35，则1＋2cos2α－π4sinα＋π2等于()A.25B.75C.145D．－25解析：原式＝1＋2cos2αcosπ4＋sin2αsinπ4cosα＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝2cos2α＋2sinαcosαcosα＝2×(cosα＋sinα)＝2×35＋45＝145.答案：C5.3－sin60°2－cos215°＝________.解析：原式＝3－322－1＋cos30°2＝6－33－32＝2.答案：202考点分类案例剖析研习考点,触类旁通[例1]已知0＜x＜π2，化简：lgcosx·tanx＋1－2sin2x2＋lg2cosx－π4－lg(1＋sin2x)．考点一三角函数式的化简解析：原式＝lg(sinx＋cosx)＋lg(sinx＋cosx)－lg(1＋sin2x)＝lgsinx＋cosx21＋sin2x＝lg1＋sin2x1＋sin2x＝0.方法点睛三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；②看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．变式训练1(1)化简：1tanα2－tanα2·1－cos2αsin2α＝_______.(2)(2013·温州调研)已知tan2θ＝－22，π＜2θ＜2π，化简2cos2θ2－sinθ－12sinθ＋π4＝__________.解析：(1)原式＝1－tan2α2tanα2·2sin2α2sinαcosα＝2tanα·tanα＝2.(2)原式＝cosθ－sinθsinθ＋cosα＝1－tanθ1＋tanθ.又tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22.解得tanθ＝－12或tanθ＝2.∵π＜2θ＜2π，∴π2＜θ＜π.∴tanθ＝－12，故原式＝1＋121－12＝3＋22.答案：(1)2(2)3＋22[例2](2013·大同调研)已知sinx2－2cosx2＝0.(1)求tanx的值；(2)求cos2x2cosπ4＋x·sinx的值．考点二三角函数式的求值解析：(1)因为sinx2－2cosx2＝0，所以sinx2＝2cosx2，得tanx2＝2，故tanx＝2tanx21－tan2x2＝－43.(2)cos2x2cosπ4＋x·sinx＝cos2xcosx－sinx·sinx＝cos2x－sin2xcosx－sinx·sinx＝cosx＋sinxsinx＝1＋1tanx＝1－34＝14.方法点睛三角函数的“给式(值)求值”的关键是找出已知式与未知式的关系，将所给一个或几个三角函数式经过变形，转化成所求函数式能使用的形式．或者将所求函数式经过变形后再用条件达到求值的目的．变式训练2如图，以Ox为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为－35，45.(1)求sin2α＋cos2α＋11＋tanα的值；(2)若OP→·OQ→＝0，求sin(α＋β)．解析：(1)由三角函数定义得cosα＝－35，sinα＝45.∴原式＝2sinαcosα＋2cos2α1＋sinαcosα＝2cosαsinα＋cosαsinα＋cosαcosα＝2cos2α＝2×－352＝1825.(2)∵OP→·OQ→＝0，∴α－β＝π2.∴β＝α－π2，∴sinβ＝sinα－π2＝－cosα＝35，cosβ＝cosα－π2＝sinα＝45.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝45×45＋－35×35＝725.[例3](2011·四川)已知函数f(x)＝sinx＋7π4＋cosx－3π4，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.考点三三角恒等变换的综合应用解析：(1)∵f(x)＝sinx＋7π4－2π＋cosx－π4－π2＝sinx－π4＋sinx－π4＝2sinx－π4.∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝45，cosβcosα－sinβsinα＝－45.两式相加得2cosβcosα＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f(β)]2－2＝4sin2π4－2＝0.方法点睛三角恒等变换首先要记忆相关的三角变换公式，关注角的变换与三角函数名称的变换，从差异中找思路，从变化中寻目标．变式训练3(2013·济南调研)已知函数f(x)＝sin2x＋π6＋sin2x－π6－cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)若函数f(x)的图像向左平移m(m＞0)个单位后，得到函数g(x)的图像关于y轴对称，求实数m的最小值．解析：(1)f(x)＝sin2x＋π6＋sin2x－π6－cos2x＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6.∴f(x)的最小正周期为2π2＝π.当2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)时，函数f(x)单调递增，故所求区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．(2)函数f(x)的图像向左平移m(m＞0)个单位后得g(x)＝2sin2x＋m－π6，要使g(x)的图像关于y轴对称，只需2m－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即m＝kπ2＋π3(k∈Z)，∴m的最小值为π3.03课堂内外学海拾贝名师在线,特色奉献思想方法(六)分类讨论思想在三角函数求值中的应用[试题](2011·重庆)设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2π2－x满足f－π3＝f(0)，求函数f(x)在π4，11π24上的最大值和最小值．解析：f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝a2sin2x－cos2x.由f－π3＝f(0)得－32·a2＋12＝－1，解得a＝23.因此f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6.当x∈π4，π3时，2x－π6∈π3，π2，f(x)为增函数；当x∈π3，11π24时，2x－π6∈π2，3π4，f(x)为减函数，所以f(x)在π4，11π24上的最大值为fπ3＝2.又因fπ4＝3，f11π24＝2，故f(x)在π4，11π24上的最小值为f11π24＝2.点评：本题是运算需要型的分类讨论，在求解三角函数单调性和最值时，由于区间不同，函数的单调性也不同，从而要分类讨论，解决分类讨论问题的基本步骤：(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结：将各类情况总结归纳．双基限时点此进入该word板块请做：word部分：练