2014届高三数学一轮复习专讲专练4.7 正弦定理和余弦定理

第四章三角函数、三角恒等变换、解三角形§4.7正弦定理和余弦定理01教材回扣02考点分类03课堂内外双基限时练[高考调研明确考向]考纲解读考情分析•掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.•利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．•常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.01教材回扣自主学习必考必记,学教相长知识梳理1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容□1______________＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝□2______________；b2＝□3______________；c2＝□4______________.定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝□5______________，b＝□6______________，c＝□7______________.②sinA＝□8____________，sinB＝□9____________，sinC＝□10____________.③a∶b∶c＝□11________.cosA＝□12_____；cosB＝□13_____；cosC＝□14______.2.在△ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形A为锐角A为钝角或直角关系式a＜bsinAa＝bsinABsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数□15____□16____□17____□18____□19_□20__3.三角形常用的面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．(4)设p＝12(a＋b＋c)，则S＝pp－ap－bp－c.答案：□1asinA＝bsinB＝csinC□2b2＋c2－2bccosA□3a2＋c2－2accosB□4a2＋b2－2abcosC□52RsinA□62RsinB□72RsinC□8a2R□9b2R□10c2R□11sinA∶sinB∶sinC□12b2＋c2－a22bc□13a2＋c2－b22ac□14a2＋b2－c22ab□15无解□16一解□17两解□18一解□19一解□20无解名师微博●一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.●两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：①已知两角及任一边，求其他边或角；②已知两边及一边的对角，求其他边或角．情况②中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分，余弦定理可解决两类问题：已知两边及夹角求第三边和其他两角；已知三边，求各角．●两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.基础自测1.(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()A．52B．102C.1063D．56解析：由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：asinA＝csinC.即1032＝c22.∴c＝1063.答案：C2．在△ABC中，若sinAa＝cosBb，则B的值为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：由正弦定理知：sinAsinA＝cosBsinB，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.答案：B3．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A＜π，∴A＝60°.答案：C4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为()A．33B．23C．43D.3解析：∵cosC＝13，0＜C＜π，∴sinC＝223，∴S△ABC＝12absinC＝12×32×23×223＝43.答案：C5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为__________．解析：∵a2＋b2－c2＝－3ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－32，故C＝150°为三角形的最大内角．答案：150°02考点分类案例剖析研习考点,触类旁通[例1]在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求A，C和边c.考点一利用正弦定理解三角形解析：由正弦定理得asinA＝bsinB，3sinA＝2sin45°，∴sinA＝32.∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝6－22.方法点睛①已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可；②已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．变式训练1(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，B＝π4，tanA＝2，则sinA＝__________；a＝__________.解析：因为△ABC中，tanA＝2，所以A是锐角，且sinAcosA＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sinA＝255，再由正弦定理asinA＝bsinB，代入数据解得a＝210.答案：255210[例2]在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．考点二利用余弦定理解三角形解析：(1)由余弦定理知：cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c得：a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.∵B为三角形的内角，∴B＝23π.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac1－12，∴ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝334.方法点睛①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．变式训练2(2013·桂林调研)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解析：(1)由2cos2A2＋cosA＝0，得1＋cosA＋cosA＝0，即cosA＝－12，∵0＜A＜π，∴A＝2π3.(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，A＝2π3，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC＝12bcsinA＝3.[例3]在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，试判断△ABC的形状．考点三利用正、余弦定理判断三角形形状解析：由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，得b2[sin(A－B)＋sinC]＝a2[sinC－sin(A－B)]，即b2sinAcosB＝a2cosAsinB，即sin2BsinAcosB＝sin2AcosAsinB，所以sin2B＝sin2A.由于A，B是三角形的内角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.故△ABC为等腰三角形或直角三角形．方法点睛判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．变式训练3在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆半径)．∴sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，即tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.答案：B[例4](2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.考点四正、余弦定理的综合应用解析：(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以3sinA－cosA－1＝0，即sinA－π6＝12.又0＜A＜π，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.方法点睛正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．变式训练4(2012·江西)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解析：(1)由bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a，应用正弦定理，得sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝sinA，sinB22sinC＋22cosC－sinC22sinB＋22cosB＝22，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1，由于0＜B，C＜34π，从而B－C＝π2.(2)B＋C＝π－A＝3π4，因此B＝5π8，C＝π8.由a＝2，A＝π4，得b＝asinBsinA＝2sin5π8，c＝asinCsinA＝2sinπ8，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝2sin5π8sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝12.03课堂内外学海拾贝名师在线,特色奉献易错矫正(十五)忽视三角形中的边角条件致错[试题](2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．错解：由1＋2cos(B＋C)＝0，知cosA＝12，∴A＝π3，根据正弦定理asinA＝bsinB得：sinB＝bsinAa＝22，∴B＝π4或3π4.以下解答过程略．错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．正解：∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cosA，∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cosA＝0，∴A＝π3.在△ABC中，根据正弦定理asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝22.∵a＞b，∴B＝π4，∴C＝π－(A＋B)＝512π.∴sinC＝sin(B＋A)＝sinBcosA＋cosBsinA＝22×12＋22×32＝6＋24.∴BC边上的高为bsinC＝2×6＋24＝3＋12.点评：考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件．解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.双基限时点此进入该word板块请做：word部分：练