搜索
1第六单元圆第23讲圆的基本性质命题点近8年的命题形式考查方向垂径定理2016(T25解)，2014(T25解)，2013(T14选)，2012(T5选)，2011(T25解)高频考点垂径定理是圆的轴对称性的具体体现，它可以串联弦、弧、角、图形的大小和位置关系，常与圆的相关知识综合，为进一步探索提供数据支持.圆周角定理2011(T16填)考查的频率较低，常与其他有关“角”的知识内容串联，作为圆大题的补充．题型多以选择题和填空题为主.命题点1垂径定理1．(2012·河北T5·2分)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是(D)A．AEBEB.AD︵＝BC︵C．∠D＝12∠AECD．△ADE∽△CBE命题点2圆周角定理2．(2011·河北T16·3分)如图，点O为优弧AB︵所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D＝27°．重难点1垂径定理及其应用已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2.(1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝8；图1图2图3图4探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝5；2(2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝91；②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝82．【思路点拨】由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．【变式训练1】(2018·襄阳)如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为(D)A．4B．22C.3D．23【变式训练2】【分类讨论思想】(2018·孝感)已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是2__cm或14__cm．方法指导1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．重难点2圆周角定理及其推论已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；(2)如图2，若∠A＝45°：①求BC的长；②若点C是AB︵的中点，求AB的长；(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．图1图2图3【思路点拨】连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解．【自主解答】解：(1)连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．∴BC＝OB＝4.(2)①连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．∵OB＝OC＝4，∴BC＝42.②∵点C是AB︵的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直径．∴AB＝8.3(3)在优弧BC︵上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO.∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.∵OB＝OC＝4，∴BC＝42.【变式训练3】(2018·南充)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)A．58°B．60°C．64°D．68°【变式训练4】(2018·秦皇岛海港区一模)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为(C)A．15°B．28°C．29°D．34°方法指导1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧．2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决．3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补．模型建立在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边．易错提示注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒．重难点3圆内接四边形(2017·潍坊)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为(C)A．50°B．60°C．80°D．90°【思路点拨】延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得CD︵＝2DM︵，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解．【变式训练5】(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)4A．80°B．120°C．100°D．90°【变式训练6】(2018·曲靖)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝n°方法指导1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ1．如图，在⊙O中，如果AB︵＝2AC︵，那么(C)A．AB＝ACB．AB＝2ACC．AB＜2ACD．AB＞2AC2．(2018·邯郸模拟)如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为(D)A．2B．23C．4D．433．(2017·承德模拟)如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作O′E⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，OC＝6，则⊙O′的半径为(C)A．7B．6C．5D．454．(2018·聊城)如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是(D)A．25°B．27.5°C．30°D．35°5．(2018·陕西)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为(A)A．15°B．35°C．25°D．45°6．(2018·河北模拟)如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，则∠C的度数为(C)A．30°B．43°C．47°D．53°7．(2018·玉林)如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是10cm.8．(2017·临沂)如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．6解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∴BD︵＝CD︵.∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE,∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝DB.(2)连接CD.∵BD︵＝CD︵，∴CD＝BD＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC是直径．∴∠BDC＝90°.∴BC＝BD2＋CD2＝42.∴△ABC外接圆的半径为22.9．(2018·遵义)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为(D)A．5B．4C．35D．25提示：过点D作DF⊥AC于点F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解．10．(2018·宜宾)如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC︵的中点，DE⊥AB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若EFAE＝34，则CGGB＝55．11．(2018·金华)如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°.(1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为303cm；(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为(105－10)cm.712．如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H.(1)如果⊙O的半径为4，CD＝43，求∠BAC的度数；(2)若点E为ADB︵的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD；(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由．解：(1)∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴CH＝12CD＝23.在Rt△COH中，sin∠COH＝CHOC＝32，∴∠COH＝60°.∴∠BAC＝12∠COH＝30°.(2)证明：∵点E是ADB︵的中点，∴OE⊥AB.又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC.又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD.(3)圆周上到直线AC的距离为3的点有2个．因为AC︵上的点到直线AC的最大距离为2，ADC︵上的点到直线AC的最大距离为6，2＜3＜6，根据圆的轴对称性，ADC︵到直线AC的距离为3的点有2个．